考研数学：第一类换元积分法
1. 第一类换元积分法（凑微分法）定义
设\(f(u)\)具有原函数\(F(u)\)，\(u = \varphi(x)\)可导，则有\(\int f[\varphi(x)]\varphi^{\prime}(x)dx = F[\varphi(x)]+C\)。
基本思想：通过将被积表达式凑成\(f[\varphi(x)]\varphi^{\prime}(x)dx\)的形式，令\(u = \varphi(x)\)，把关于\(x\)的积分转化为关于\(u\)的积分\(\int f(u)du\)，积分后再把\(u=\varphi(x)\)代回。
2. 常见的凑微分形式
\(dx=\frac{1}{a}d(ax + b)\)（\(a\neq0\)）。例如，当\(a = 2\)，\(b = 3\)时，\(dx=\frac{1}{2}d(2x + 3)\)。
\(x^{n - 1}dx=\frac{1}{n}dx^{n}\)（\(n\neq0\)）。比如\(x^{2}dx=\frac{1}{3}dx^{3}\)。
\(\sin xdx=-d(\cos x)\)，\(\cos xdx = d(\sin x)\)。
\(e^{x}dx = d(e^{x})\)，\(\frac{1}{x}dx=d(\ln|x|)\)（\(x\neq0\)）。
例1：\(\int(2x + 1)^{3}dx\)
令\(u = 2x+1\)，则\(du=2dx\)，\(dx=\frac{1}{2}du\)。
原积分\(\int(2x + 1)^{3}dx=\frac{1}{2}\int u^{3}du\)。
根据基本积分公式\(\int u^{n}du=\frac{1}{n + 1}u^{n+1}+C\)（\(n\neq - 1\)），这里\(n = 3\)。
所以\(\frac{1}{2}\int u^{3}du=\frac{1}{2}\times\frac{1}{4}u^{4}+C=\frac{1}{8}(2x + 1)^{4}+C\)。
例2：\(\int x\sqrt{x^{2}+1}dx\)
令\(u=x^{2}+1\)，则\(du = 2xdx\)，\(xdx=\frac{1}{2}du\)。
原积分\(\int x\sqrt{x^{2}+1}dx=\frac{1}{2}\int\sqrt{u}du\)。
因为\(\int\sqrt{u}du=\int u^{\frac{1}{2}}du=\frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}}+C\)。
所以\(\frac{1}{2}\int\sqrt{u}du=\frac{1}{3}(x^{2}+1)^{\frac{3}{2}}+C\)。
例3：\(\int\frac{1}{3x + 2}dx\)
令\(u = 3x+2\)，则\(du=3dx\)，\(dx=\frac{1}{3}du\)。
原积分\(\int\frac{1}{3x + 2}dx=\frac{1}{3}\int\frac{1}{u}du\)。
因为\(\int\frac{1}{u}du=\ln|u|+C\)。
所以\(\frac{1}{3}\int\frac{1}{u}du=\frac{1}{3}\ln|3x + 2|+C\)。
例4：\(\int e^{2x}dx\)
令\(u = 2x\)，则\(du=2dx\)，\(dx=\frac{1}{2}du\)。
原积分\(\int e^{2x}dx=\frac{1}{2}\int e^{u}du\)。
因为\(\int e^{u}du=e^{u}+C\)。
所以\(\frac{1}{2}\int e^{u}du=\frac{1}{2}e^{2x}+C\)。
例5：\(\int\sin(3x)dx\)
令\(u = 3x\)，则\(du = 3dx\)，\(dx=\frac{1}{3}du\)。
原积分\(\int\sin(3x)dx=\frac{1}{3}\int\sin udu\)。
因为\(\int\sin udu=-\cos u + C\)。
所以\(\frac{1}{3}\int\sin udu=-\frac{1}{3}\cos(3x)+C\)。
例6：\(\int\frac{x}{x^{2}+1}dx\)
令\(u=x^{2}+1\)，则\(du = 2xdx\)，\(xdx=\frac{1}{2}du\)。
原积分\(\int\frac{x}{x^{2}+1}dx=\frac{1}{2}\int\frac{1}{u}du\)。
因为\(\int\frac{1}{u}du=\ln|u|+C\)。
所以\(\frac{1}{2}\int\frac{1}{u}du=\frac{1}{2}\ln|x^{2}+1|+C\)。
例7：\(\int\cos^{2}x\sin xdx\)
令\(u=\cos x\)，则\(du=-\sin xdx\)，\(\sin xdx=-du\)。
原积分\(\int\cos^{2}x\sin xdx=-\int u^{2}du\)。
根据基本积分公式\(\int u^{n}du=\frac{1}{n + 1}u^{n+1}+C\)（\(n\neq - 1\)），这里\(n = 2\)。
所以\(-\int u^{2}du=-\frac{1}{3}u^{3}+C=-\frac{1}{3}\cos^{3}x + C\)。
例8：\(\int\frac{\ln x}{x}dx\)
令\(u = \ln x\)，则\(du=\frac{1}{x}dx\)。
原积分\(\int\frac{\ln x}{x}dx=\int udu\)。
根据基本积分公式\(\int udu=\frac{1}{2}u^{2}+C\)。
所以\(\int udu=\frac{1}{2}(\ln x)^{2}+C\)。
例9：\(\int x^{2}e^{x^{3}}dx\)
令\(u = x^{3}\)，则\(du = 3x^{2}dx\)，\(x^{2}dx=\frac{1}{3}du\)。
原积分\(\int x^{2}e^{x^{3}}dx=\frac{1}{3}\int e^{u}du\)。
因为\(\int e^{u}du=e^{u}+C\)。
所以\(\frac{1}{3}\int e^{u}du=\frac{1}{3}e^{x^{3}}+C\)。
例10：\(\int\frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}dx\)
令\(u=\sqrt{x}\)，则\(du=\frac{1}{2\sqrt{x}}dx\)，\(\frac{1}{\sqrt{x}}dx = 2du\)。
原积分\(\int\frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}dx=2\int e^{u}du\)。
因为\(\int e^{u}du=e^{u}+C\)。
所以\(2\int e^{u}du=2e^{\sqrt{x}}+C\)。
例11：\(\int\tan xdx\)
因为\(\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\)，令\(u=\cos x\)，则\(du =-\sin xdx\)，\(\sin xdx=-du\)。
原积分\(\int\tan xdx=\int\frac{\sin x}{\cos x}dx=-\int\frac{1}{u}du\)。
因为\(\int\frac{1}{u}du=\ln|u|+C\)。
所以\(-\int\frac{1}{u}du=-\ln|\cos x|+C=\ln|\sec x|+C\)。
例12：\(\int\cot xdx\)
因为\(\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}\)，令\(u=\sin x\)，则\(du=\cos xdx\)。
原积分\(\int\cot xdx=\int\frac{\cos x}{\sin x}dx=\int\frac{1}{u}du\)。
因为\(\int\frac{1}{u}du=\ln|u|+C\)。
所以\(\int\frac{1}{u}du=\ln|\sin x|+C\)。
例13：\(\int\frac{1}{x\ln x}dx\)
令\(u = \ln x\)，则\(du=\frac{1}{x}dx\)。
原积分\(\int\frac{1}{x\ln x}dx=\int\frac{1}{u}du\)。
因为\(\int\frac{1}{u}du=\ln|u|+C\)。
所以\(\int\frac{1}{u}du=\ln|\ln x|+C\)。
例14：\(\int\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}\sin^{- 1}x dx\)
令\(u=\sin^{-1}x\)，则\(du=\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}dx\)。
原积分\(\int\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}\sin^{-1}x dx=\int udu\)。
根据基本积分公式\(\int udu=\frac{1}{2}u^{2}+C\)。
所以\(\int udu=\frac{1}{2}(\sin^{-1}x)^{2}+C\)。
例15：\(\int\frac{1}{1 + x^{2}}\arctan xdx\)
令\(u = \arctan x\)，则\(du=\frac{1}{1 + x^{2}}dx\)。
原积分\(\int\frac{1}{1 + x^{2}}\arctan xdx=\int udu\)。
根据基本积分公式\(\int udu=\frac{1}{2}u^{2}+C\)。
所以\(\int udu=\frac{1}{2}(\arctan x)^{2}+C\)。
例16：\(\int x\sin(x^{2})dx\)
令\(u = x^{2}\)，则\(du = 2xdx\)，\(xdx=\frac{1}{2}du\)。
原积分\(\int x\sin(x^{2})dx=\frac{1}{2}\int\sin udu\)。
因为\(\int\sin udu=-\cos u + C\)。
所以\(\frac{1}{2}\int\sin udu=-\frac{1}{2}\cos(x^{2})+C\)。
例17：\(\int\frac{2x - 1}{x^{2}-x + 1}dx\)
令\(u=x^{2}-x + 1\)，则\(du=(2x - 1)dx\)。
原积分\(\int\frac{2x - 1}{x^{2}-x + 1}dx=\int\frac{1}{u}du\)。
因为\(\int\frac{1}{u}du=\ln|u|+C\)。
所以\(\int\frac{1}{u}du=\ln|x^{2}-x + 1|+C\)。
例18：\(\int\frac{e^{x}}{1 + e^{2x}}dx\)
令\(u = e^{x}\)，则\(du=e^{x}dx\)。
原积分\(\int\frac{e^{x}}{1 + e^{2x}}dx=\int\frac{1}{1 + u^{2}}du\)。
因为\(\int\frac{1}{1 + u^{2}}du=\arctan u + C\)。
所以\(\int\frac{1}{1 + u^{2}}du=\arctan(e^{x})+C\)。
例19：\(\int\frac{1}{\sqrt{x}(1 + x)}dx\)
令\(u=\sqrt{x}\)，则\(du=\frac{1}{2\sqrt{x}}dx\)，\(\frac{2}{\sqrt{x}}dx = 4du\)。
原积分\(\int\frac{1}{\sqrt{x}(1 + x)}dx=2\int\frac{1}{1 + u^{2}}du\)。
因为\(\int\frac{1}{1 + u^{2}}du=\arctan u + C\)。
所以\(2\int\frac{1}{1 + u^{2}}du=2\arctan(\sqrt{x})+C\)。
例20：\(\int\frac{x^{3}}{(1 + x^{2})^{2}}dx\)
令\(u = 1 + x^{2}\)，则\(du = 2xdx\)，\(x^{2}=u - 1\)，\(xdx=\frac{1}{2}du\)。
原积分\(\int\frac{x^{3}}{(1 + x^{2})^{2}}dx=\frac{1}{2}\int\frac{(u - 1)}{u^{2}}du\)。
展开\(\frac{(u - 1)}{u^{2}}=\frac{1}{u}-\frac{1}{u^{2}}\)。
所以\(\frac{1}{2}\int(\frac{1}{u}-\frac{1}{u^{2}})du=\frac{1}{2}(\ln|u|+\frac{1}{u})+C=\frac{1}{2}(\ln|1 + x^{2}|+\frac{1}{1 + x^{2}})+C\)。
