1. 函数增量的近似计算

原理：当函数\(y = f(x)\)在点\(x_{0}\)处可微，且\(\vert\Delta x\vert\)很小时，\(\Delta y\approx dy\)，即\(f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})\approx f^\prime(x_{0})\Delta x\)。

例题1：计算\(\sqrt{4.02}\)的近似值。

解：设\(y = \sqrt{x}\)，\(x_{0}=4\)，\(\Delta x = 0.02\)。先求\(y^\prime=\frac{1}{2\sqrt{x}}\)，当\(x = 4\)时，\(y^\prime(4)=\frac{1}{4}\)。根据近似公式\(f(x_{0}+\Delta x)\approx f(x_{0})+f^\prime(x_{0})\Delta x\)，可得\(\sqrt{4.02}\approx\sqrt{4}+\frac{1}{4}\times0.02 = 2 + 0.005 = 2.005\)。

例题2：已知\(y = \sin x\)，当\(x\)从\(\frac{\pi}{6}\)变化到\(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{180}\)时，求\(y\)的增量的近似值。

解：设\(x_{0}=\frac{\pi}{6}\)，\(\Delta x=\frac{\pi}{180}\)。\(y^\prime=\cos x\)，\(y^\prime(\frac{\pi}{6})=\frac{\sqrt{3}}{2}\)。根据\(\Delta y\approx dy = y^\prime(x_{0})\Delta x\)，可得\(\Delta y\approx\frac{\sqrt{3}}{2}\times\frac{\pi}{180}=\frac{\sqrt{3}\pi}{360}\)。

2. 函数值的近似计算

原理：对于函数\(y = f(x)\)，当\(\vert x - x_{0}\vert\)很小时，\(f(x)\approx f(x_{0})+f^\prime(x_{0})(x - x_{0})\)。

例题3：计算\(\sin 31^{\circ}\)的近似值。

解：设\(y = \sin x\)，\(x_{0}=30^{\circ}=\frac{\pi}{6}\)（弧度），\(x = 31^{\circ}=\frac{31\pi}{180}\)，\(\Delta x=\frac{31\pi}{180}-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{180}\)。\(y^\prime=\cos x\)，\(y^\prime(\frac{\pi}{6})=\frac{\sqrt{3}}{2}\)。根据\(f(x)\approx f(x_{0})+f^\prime(x_{0})(x - x_{0})\)，可得\(\sin 31^{\circ}\approx\sin\frac{\pi}{6}+\frac{\sqrt{3}}{2}\times\frac{\pi}{180}=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}\pi}{360}\)。

例题4：计算\(e^{0.05}\)的近似值。

解：设\(y = e^{x}\)，\(x_{0}=0\)，\(\Delta x = 0.05\)。\(y^\prime=e^{x}\)，\(y^\prime(0)=1\)。根据近似公式\(f(x)\approx f(x_{0})+f^\prime(x_{0})(x - x_{0})\)，可得\(e^{0.05}\approx e^{0}+1\times0.05 = 1 + 0.05 = 1.05\)。

3. 误差估计中的应用

绝对误差估计：设\(y = f(x)\)，如果测量\(x\)时产生的误差为\(\Delta x\)，那么\(\Delta y\approx dy = f^\prime(x)\Delta x\)，\(\vert\Delta y\vert\approx\vert f^\prime(x)\vert\vert\Delta x\vert\)，这里\(\vert\Delta x\vert\)是\(x\)的绝对误差，\(\vert\Delta y\vert\)是\(y\)的绝对误差。

例题5：设测得圆的半径\(r\)的值为\(10\)厘米，测量误差为\(0.1\)厘米，求计算圆面积\(S=\pi r^{2}\)时的绝对误差。

解：\(S^\prime = 2\pi r\)，当\(r = 10\)时，\(S^\prime(10)=20\pi\)。已知\(\vert\Delta r\vert = 0.1\)厘米，根据\(\vert\Delta S\vert\approx\vert S^\prime(r)\vert\vert\Delta r\vert\)，可得\(\vert\Delta S\vert\approx20\pi\times0.1 = 2\pi\)平方厘米。

相对误差估计：相对误差\(\delta_{y}=\frac{\Delta y}{y}\approx\frac{dy}{y}=\frac{f^\prime(x)}{f(x)}\Delta x\)，它表示误差\(\Delta y\)在\(y\)中所占的比例。

例题6：计算正方体体积\(V = x^{3}\)，如果\(x\)的相对误差为\(2\%\)，求\(V\)的相对误差。

解：\(V^\prime = 3x^{2}\)，相对误差\(\delta_{V}=\frac{V^\prime}{V}\Delta x=\frac{3x^{2}}{x^{3}}\Delta x = 3\frac{\Delta x}{x}\)。已知\(\frac{\Delta x}{x}=2\%\)，所以\(\delta_{V}=3\times2\% = 6\%\)。

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