反双曲正弦函数：\(y = \text{arsinh}(x)\)
1. 反双曲正弦函数的定义
反双曲正弦函数是双曲正弦函数的反函数。如果\(y = \sinh(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}\)，那么反双曲正弦函数\(x = \text{arsinh}(y)\)。
它可以通过解方程\(y=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}\)得到显式表达式。令\(e^{x}=t\)（\(t>0\)），则方程变为\(y=\frac{t-\frac{1}{t}}{2}\)，整理得\(2yt=t^{2}-1\)，即\(t^{2}-2yt - 1 = 0\)。
利用一元二次方程求根公式\(t=y\pm\sqrt{y^{2}+1}\)，因为\(t = e^{x}>0\)，所以\(t=y+\sqrt{y^{2}+1}\)，则\(x=\ln(y + \sqrt{y^{2}+1})\)，所以\(\text{arsinh}(y)=\ln(y+\sqrt{y^{2}+1})\)。
2. 反双曲正弦函数的性质
定义域和值域：定义域为\((-\infty,+\infty)\)，值域也是\((-\infty,+\infty)\)。这是因为双曲正弦函数\(y = \sinh(x)\)的值域是\((-\infty,+\infty)\)，所以其反函数的定义域是\((-\infty,+\infty)\)，并且反双曲正弦函数的取值可以是任意实数。
单调性：反双曲正弦函数在其定义域内是单调递增的。因为双曲正弦函数\(y = \sinh(x)\)在\((-\infty,+\infty)\)上单调递增，根据反函数的性质，反双曲正弦函数也单调递增。
奇偶性：反双曲正弦函数是奇函数，即\(\text{arsinh}(-y)=-\text{arsinh}(y)\)。证明如下：
\(\text{arsinh}(-y)=\ln(-y+\sqrt{y^{2}+1})\)，而\(-\text{arsinh}(y)=-\ln(y+\sqrt{y^{2}+1})=\ln\frac{1}{y+\sqrt{y^{2}+1}}\)。
对\(\ln(-y+\sqrt{y^{2}+1})\)进行分子有理化，可得\(\ln\frac{1}{y+\sqrt{y^{2}+1}}\)，所以\(\text{arsinh}(-y)=-\text{arsinh}(y)\)。
3. 反双曲正弦函数的导数
根据反函数求导法则，若\(y = f(x)\)的反函数是\(x = g(y)\)，则\(g^\prime(y)=\frac{1}{f^\prime(x)}\)，其中\(y = f(x)\)。
对于\(y = \sinh(x)\)，\(y^\prime=\cosh(x)\)，所以\((\text{arsinh}(y))^\prime=\frac{1}{\cosh(\text{arsinh}(y))}\)。
又因为\(\cosh^{2}(x)-\sinh^{2}(x)=1\)，对于\(x = \text{arsinh}(y)\)，\(\cosh(\text{arsinh}(y))=\sqrt{1 + y^{2}}\)，所以\((\text{arsinh}(y))^\prime=\frac{1}{\sqrt{y^{2}+1}}\)。
例1：求导计算
已知函数\(y = \text{arsinh}(x^{2})\)，求\(y^\prime\)。
根据复合函数求导法则，令\(u = x^{2}\)，则\(y=\text{arsinh}(u)\)。
先对\(y = \text{arsinh}(u)\)求导，\((\text{arsinh}(u))^\prime=\frac{1}{\sqrt{u^{2}+1}}\)。
再对\(u = x^{2}\)求导，\(u^\prime = 2x\)。
由复合函数求导公式\(y^\prime = y^\prime_{u}\cdot u^\prime_{x}\)，可得\(y^\prime=\frac{2x}{\sqrt{(x^{2})^{2}+1}}=\frac{2x}{\sqrt{x^{4}+1}}\)。
例2：积分计算
计算\(\int\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}dx\)。
注意到\(\int\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}dx=\text{arsinh}(x)+C\)。
例如，计算定积分\(\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}dx\)，根据牛顿 - 莱布尼茨公式，结果为\([\text{arsinh}(x)]_{0}^{1}=\text{arsinh}(1)-\text{arsinh}(0)\)。
因为\(\text{arsinh}(0)=\ln(0+\sqrt{0^{2}+1}) = 0\)，\(\text{arsinh}(1)=\ln(1+\sqrt{1^{2}+1})=\ln(1 + \sqrt{2})\)，所以定积分的值为\(\ln(1+\sqrt{2})\)。
例3：解方程
求解方程\(\text{arsinh}(x)=2\)。
由反双曲正弦函数的定义\(\text{arsinh}(x)=\ln(x+\sqrt{x^{2}+1})\)，则\(\ln(x+\sqrt{x^{2}+1}) = 2\)。
两边同时取指数，可得\(x+\sqrt{x^{2}+1}=e^{2}\)。
移项得\(\sqrt{x^{2}+1}=e^{2}-x\)，两边平方得\(x^{2}+1=(e^{2}-x)^{2}=e^{4}-2e^{2}x+x^{2}\)。
化简可得\(2e^{2}x=e^{4}-1\)，解得\(x=\frac{e^{4}-1}{2e^{2}}\)。
例4：证明等式
证明\(\text{arsinh}(x)+\text{arsinh}(-x)=0\)。
由反双曲正弦函数的性质\(\text{arsinh}(-y)=-\text{arsinh}(y)\)，令\(y = x\)，则\(\text{arsinh}(x)+\text{arsinh}(-x)=\text{arsinh}(x)-\text{arsinh}(x)=0\)。
例5：在物理中的应用（简化模型）
假设在一个电场中，电子的运动轨迹在某种近似下可以用一个含有反双曲正弦函数的方程来描述。设电子的位置\(y\)与时间\(t\)的关系为\(y = a\cdot\text{arsinh}(bt)\)（\(a\)和\(b\)为常数）。
求电子在某一时刻\(t = t_{0}\)的速度。对\(y\)关于\(t\)求导，\(y^\prime=a\cdot\frac{b}{\sqrt{(bt)^{2}+1}}\)。
当\(t = t_{0}\)时，速度\(v=a\cdot\frac{b}{\sqrt{(bt_{0})^{2}+1}}\)，这个速度表达式可以帮助我们研究电子在该电场中的运动状态等物理性质。
