1. 瑕积分的概念

瑕点的定义：如果函数\(f(x)\)在点\(a\)的任意邻域内无界，则称点\(a\)是函数\(f(x)\)的瑕点。例如，函数\(f(x)=\frac{1}{x}\)在\(x = 0\)处无界，所以\(x = 0\)是\(f(x)\)的瑕点。

瑕积分的定义：设函数\(f(x)\)在区间\((a,b]\)上连续，且\(\lim_{x \to a^{+}}f(x)=\infty\)，则瑕积分\(\int_{a}^{b}f(x)dx\)定义为\(\lim_{t \to a^{+}}\int_{t}^{b}f(x)dx\)。如果这个极限存在，就称瑕积分收敛；否则，称瑕积分发散。例如，对于\(\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{x}}dx\)，因为\(x = 0\)是瑕点，计算\(\lim_{t \to 0^{+}}\int_{t}^{1}\frac{1}{\sqrt{x}}dx=\lim_{t \to 0^{+}}2\sqrt{x}\big|_{t}^{1}=\lim_{t \to 0^{+}}(2 - 2\sqrt{t}) = 2\)，所以该瑕积分收敛。

区间上存在多个瑕点的情况：若\(f(x)\)在\([a,b)\)上连续，且\(\lim_{x \to b^{-}}f(x)=\infty\)，则\(\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim_{t \to b^{-}}\int_{a}^{t}f(x)dx\)；若\(f(x)\)在\([a,c)\cup(c,b]\)上连续，且\(\lim_{x \to c}f(x)=\infty\)，则\(\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^{b}f(x)dx\)，当且仅当\(\int_{a}^{c}f(x)dx\)和\(\int_{c}^{b}f(x)dx\)都收敛时，\(\int_{a}^{b}f(x)dx\)才收敛。

2. 瑕积分的计算方法

利用牛顿 - 莱布尼茨公式的推广形式：先求\(f(x)\)的原函数\(F(x)\)，对于瑕积分\(\int_{a}^{b}f(x)dx\)（\(a\)为瑕点），计算\(\lim_{t \to a^{+}}[F(b)-F(t)]\)。例如，计算\(\int_{0}^{1}\frac{1}{x^{2}}dx\)，原函数为\(-\frac{1}{x}\)，\(\lim_{t \to 0^{+}}(-\frac{1}{1}+\frac{1}{t})\)不存在，所以该瑕积分发散。

换元法：通过换元将瑕积分转化为普通积分或者更容易处理的瑕积分。例如，计算\(\int_{0}^{1}\sqrt{\frac{1 - x}{x}}dx\)，令\(t=\sqrt{\frac{1 - x}{x}}\)，则\(x=\frac{1}{1 + t^{2}}\)，\(dx=-\frac{2t}{(1 + t^{2})^{2}}dt\)，当\(x = 0\)时，\(t \to +\infty\)；当\(x = 1\)时，\(t = 0\)。原积分变为\(2\int_{0}^{+\infty}\frac{t^{2}}{(1 + t^{2})^{2}}dt\)，再通过其他积分方法（如分部积分法等）进行计算。

分部积分法：对于某些瑕积分，分部积分法也适用。设\(u\)和\(v^\prime\)是被积函数的两个部分，利用分部积分公式\(\int_{a}^{b}u(x)v^\prime(x)dx=[u(x)v(x)]_{a}^{b}-\int_{a}^{b}u^\prime(x)v(x)dx\)，注意在计算过程中要正确处理瑕点处的极限。例如，计算\(\int_{0}^{1}x\ln xdx\)，设\(u=\ln x\)，\(v^\prime = x\)，则\(u^\prime=\frac{1}{x}\)，\(v=\frac{1}{2}x^{2}\)。根据分部积分公式可得\(\int_{0}^{1}x\ln xdx=\left[\frac{1}{2}x^{2}\ln x\right]_{0}^{1}-\int_{0}^{1}\frac{1}{2}x^{2}\times\frac{1}{x}dx\)，对于\(\left[\frac{1}{2}x^{2}\ln x\right]_{0}^{1}\)，\(\lim_{x \to 0^{+}}\frac{1}{2}x^{2}\ln x = 0\)（通过洛必达法则等方法可证明），然后继续计算后面的积分得到结果。

3. 瑕积分的判别法

比较判别法：设函数\(f(x)\)、\(g(x)\)在区间\((a,b]\)上连续，\(a\)为瑕点，且\(0\leq f(x)\leq g(x)\)。若\(\int_{a}^{b}g(x)dx\)收敛，则\(\int_{a}^{b}f(x)dx\)收敛；若\(\int_{a}^{b}f(x)dx\)发散，则\(\int_{a}^{b}g(x)dx\)发散。例如，判断\(\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{x}(1 + x)}dx\)的敛散性，因为\(\frac{1}{\sqrt{x}(1 + x)}\leq\frac{1}{\sqrt{x}}\)，而\(\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{x}}dx\)收敛，所以\(\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{x}(1 + x)}dx\)收敛。

极限判别法：设函数\(f(x)\)在区间\((a,b]\)上连续，\(a\)为瑕点且\(f(x)\geq0\)，若\(\lim_{x \to a^{+}}(x - a)^{p}f(x)=l\)（\(0\leq l<+\infty\)），当\(p < 1\)时，\(\int_{a}^{b}f(x)dx\)收敛；若\(\lim_{x \to a^{+}}(x - a)^{p}f(x)=l\)（\(0 < l\leq+\infty\)），当\(p\geq1\)时，\(\int_{a}^{b}f(x)dx\)发散。例如，对于\(\int_{0}^{1}\frac{1}{x^{0.9}}dx\)，令\(p = 0.9\)，\(\lim_{x \to 0^{+}}x^{0.9}\cdot\frac{1}{x^{0.9}} = 1\)，因为\(p = 0.9 < 1\)，所以该瑕积分收敛。

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