考研数学：函数的最大值最小值问题
1. 最大值最小值定义及相关概念
函数\(y = f(x)\)在闭区间\([a,b]\)上的最大值与最小值是函数在该区间上的整体性质。最大值是函数在区间内所有取值中的最大者，最小值是最小者。函数的最大值和最小值可能在区间的端点处取得，也可能在区间内部的点（极值点）处取得。
2. 求函数在闭区间\([a,b]\)上最大值和最小值的步骤
步骤一：求出函数\(y = f(x)\)在区间\((a,b)\)内的所有驻点（即\(f^{\prime}(x)=0\)的点）和导数不存在的点。
步骤二：计算函数在这些驻点、导数不存在的点以及区间端点\(a\)和\(b\)处的函数值。
步骤三：比较这些函数值的大小，最大的即为最大值，最小的即为最小值。
例1：求函数在给定闭区间上的最值
求函数\(y = x^{3}-3x^{2}-9x + 5\)在区间\([-2,6]\)上的最大值和最小值。
首先求函数的导数\(y^{\prime}=3x^{2}-6x - 9 = 3(x + 1)(x - 3)\)。
令\(y^{\prime}=0\)，解得\(x=-1\)或\(x = 3\)。
计算函数在\(x=-1\)，\(x = 3\)，\(x=-2\)和\(x = 6\)处的函数值：
\(y(-1)=10\)，\(y(3)=-22\)，\(y(-2)=3\)，\(y(6)=59\)。
比较这些值可得，最大值为\(y(6)=59\)，最小值为\(y(3)= - 22\)。
例2：应用于实际问题（几何问题）
要用一块边长为\(a\)的正方形铁皮，在四个角上剪去同样大小的正方形，然后折成一个无盖的长方体盒子。问剪去的小正方形边长为多少时，盒子的容积最大？
设剪去的小正方形边长为\(x\)，则盒子底面边长为\(a - 2x\)，高为\(x\)，盒子容积\(V(x)=x(a - 2x)^{2}\)，\(0<x<\frac{a}{2}\)。
对\(V(x)\)求导：
\(V^{\prime}(x)=(a - 2x)^{2}-4x(a - 2x)=(a - 2x)(a - 6x)\)。
令\(V^{\prime}(x)=0\)，解得\(x=\frac{a}{6}\)或\(x=\frac{a}{2}\)（舍去，因为不在定义域内）。
当\(0<x<\frac{a}{6}\)时，\(V^{\prime}(x)>0\)，\(V(x)\)单调递增；当\(\frac{a}{6}<x<\frac{a}{2}\)时，\(V^{\prime}(x)<0\)，\(V(x)\)单调递减。
所以当\(x = \frac{a}{6}\)时，盒子容积最大，最大值为\(V(\frac{a}{6})=\frac{2a^{3}}{27}\)。
例3：应用于实际问题（物理问题）
一物体沿直线运动，其速度\(v = 3t^{2}-18t + 24\)，求在\(t\in[0,5]\)内物体运动的最大和最小路程。
路程\(s(t)\)是速度\(v(t)\)的积分，先求速度为\(0\)时的\(t\)值，令\(v = 3t^{2}-18t + 24 = 3(t - 2)(t - 4)=0\)，解得\(t = 2\)或\(t = 4\)。
对\(v(t)\)积分可得\(s(t)=t^{3}-9t^{2}+24t + C\)（\(C\)为常数，在这里不影响最值的计算，可暂不考虑）。
计算\(s(0)=0\)，\(s(2)=20\)，\(s(4)=16\)，\(s(5)=20\)。
所以在\([0,5]\)内，最大路程为\(20\)，最小路程为\(0\)。
