1. 极限的唯一性

性质描述：如果数列\(\{a_{n}\}\)收敛，那么它的极限是唯一的。

证明思路（反证法）：假设数列\(\{a_{n}\}\)收敛于\(a\)和\(b\)（\(a\neq b\)），不妨设\(\varepsilon=\frac{\vert a - b\vert}{2}\)。因为\(\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=a\)，根据数列极限的定义，存在正整数\(N_{1}\)，当\(n > N_{1}\)时，\(\vert a_{n}-a\vert<\varepsilon\)；又因为\(\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=b\)，存在正整数\(N_{2}\)，当\(n > N_{2}\)时，\(\vert a_{n}-b\vert<\varepsilon\)。

举例说明：设\(N=\max\{N_{1},N_{2}\}\)，当\(n > N\)时，\(\vert a - b\vert=\vert a - a_{n}+a_{n}-b\vert\leqslant\vert a - a_{n}\vert+\vert a_{n}-b\vert<2\varepsilon=\vert a - b\vert\)，这就产生了矛盾，所以假设不成立，即收敛数列的极限是唯一的。

2. 收敛数列的有界性

性质描述：如果数列\(\{a_{n}\}\)收敛，那么数列\(\{a_{n}\}\)一定有界。即存在正数\(M\)，使得对于一切\(n\)，有\(\vert a_{n}\vert\leqslant M\)。

证明思路：设\(\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=a\)，对于\(\varepsilon = 1\)，根据数列极限的定义，存在正整数\(N\)，当\(n > N\)时，\(\vert a_{n}-a\vert<1\)，即\(\vert a_{n}\vert=\vert a_{n}-a + a\vert\leqslant\vert a_{n}-a\vert+\vert a\vert<1+\vert a\vert\)。

举例说明：取\(M=\max\{\vert a_{1}\vert,\vert a_{2}\vert,\cdots,\vert a_{N}\vert,1+\vert a\vert\}\)，那么对于一切\(n\)，都有\(\vert a_{n}\vert\leqslant M\)。例如数列\(a_{n}=\frac{1}{n}\)，它收敛于\(0\)，并且对于所有的\(n\)，\(0\leqslant a_{n}\leqslant1\)，这里可以取\(M = 1\)，满足有界性。

3. 收敛数列的保号性

性质描述：若\(\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=a\)，且\(a > 0\)（或\(a < 0\)），则存在正整数\(N\)，当\(n > N\)时，\(a_{n}>0\)（或\(a_{n}<0\)）。

证明思路：当\(a > 0\)时，取\(\varepsilon=\frac{a}{2}\)，因为\(\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=a\)，所以存在正整数\(N\)，当\(n > N\)时，\(\vert a_{n}-a\vert<\varepsilon=\frac{a}{2}\)，即\(a_{n}>a-\frac{a}{2}=\frac{a}{2}>0\)。

举例说明：例如数列\(a_{n}=1+\frac{1}{n}\)，\(\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=1>0\)，当\(n = 1\)时，\(a_{1}=2>0\)，当\(n\)足够大（比如\(n > 1\)）时，\(a_{n}\)也都大于\(0\)。

4. 收敛数列与其子数列的关系

性质描述：如果数列\(\{a_{n}\}\)收敛于\(a\)，那么它的任一子数列也收敛，且极限也是\(a\)。

证明思路：设数列\(\{a_{n}\}\)收敛于\(a\)，对于任意给定的\(\varepsilon>0\)，存在正整数\(N\)，当\(n > N\)时，\(\vert a_{n}-a\vert<\varepsilon\)。设\(\{a_{n_{k}}\}\)是\(\{a_{n}\}\)的一个子数列，因为\(n_{k}\geqslant k\)，当\(k > N\)时，\(n_{k}>N\)，所以\(\vert a_{n_{k}}-a\vert<\varepsilon\)，即子数列\(\{a_{n_{k}}\}\)也收敛于\(a\)。

举例说明：对于数列\(a_{n}=\frac{1}{n}\)，它收敛于\(0\)，取其子数列\(a_{n_{k}}=\frac{1}{2k}\)，这个子数列也收敛于\(0\)。

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