1. 向量积（外积）的定义

设向量\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)，它们的夹角为\(\theta\)（\(0\leq\theta\leq\pi\)），向量\(\vec{a}\)与\(\vec{b}\)的向量积（也称为外积、叉积）是一个向量，记作\(\vec{a}\times\vec{b}\)。它的模\(\vert\vec{a}\times\vec{b}\vert=\vert\vec{a}\vert\vert\vec{b}\vert\sin\theta\)，它的方向垂直于\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)所确定的平面，且\(\vec{a}\)、\(\vec{b}\)和\(\vec{a}\times\vec{b}\)符合右手定则。

例如，若有两个向量\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)，\(\vert\vec{a}\vert = 2\)，\(\vert\vec{b}\vert = 3\)，夹角\(\theta=\frac{\pi}{3}\)，则\(\vert\vec{a}\times\vec{b}\vert = 2\times3\times\sin\frac{\pi}{3}=6\times\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}\)。

2. 向量积（外积）的几何意义

\(\vert\vec{a}\times\vec{b}\vert\)等于以\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)为邻边的平行四边形的面积。因为平行四边形面积公式为\(S =底\times高\)，在这里\(\vert\vec{a}\vert\)可以看作底，\(\vert\vec{b}\vert\sin\theta\)就是高。

例如，在空间直角坐标系中，向量\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)确定了一个平行四边形，通过计算向量积的模就能得到这个平行四边形的面积大小。

3. 向量积（外积）的运算律

反交换律：\(\vec{a}\times\vec{b}= - \vec{b}\times\vec{a}\)。

证明：根据向量积的定义，\(\vec{a}\times\vec{b}\)和\(\vec{b}\times\vec{a}\)的模是相等的，即\(\vert\vec{a}\times\vec{b}\vert=\vert\vec{b}\times\vec{a}\vert=\vert\vec{a}\vert\vert\vec{b}\vert\sin\theta\)。但是它们的方向是相反的，因为根据右手定则，当\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)顺序交换时，所确定的垂直方向（即向量积的方向）相反，所以\(\vec{a}\times\vec{b}= - \vec{b}\times\vec{a}\)。

分配律：\(\vec{a}\times(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}\times\vec{b}+\vec{a}\times\vec{c}\)。

证明：这个证明相对复杂，可以通过坐标表示来证明。设\(\vec{a}=(a_{x},a_{y},a_{z})\)，\(\vec{b}=(b_{x},b_{y},b_{z})\)，\(\vec{c}=(c_{x},c_{y},c_{z})\)，分别计算\(\vec{a}\times(\vec{b}+\vec{c})\)和\(\vec{a}\times\vec{b}+\vec{a}\times\vec{c}\)的坐标，会发现它们是相等的，从而证明分配律成立。

数乘结合律：\((\lambda\vec{a})\times\vec{b}=\lambda(\vec{a}\times\vec{b})=\vec{a}\times(\lambda\vec{b})\)（\(\lambda\)为实数）。

证明：\((\lambda\vec{a})\times\vec{b}\)的模为\(\vert(\lambda\vec{a})\times\vec{b}\vert=\vert\lambda\vec{a}\vert\vert\vec{b}\vert\sin\theta=\vert\lambda\vert\vert\vec{a}\vert\vert\vec{b}\vert\sin\theta\)，方向与\(\vec{a}\times\vec{b}\)相同（当\(\lambda>0\)）或相反（当\(\lambda<0\)）。而\(\lambda(\vec{a}\times\vec{b})\)和\(\vec{a}\times(\lambda\vec{b})\)同样具有这样的性质，所以\((\lambda\vec{a})\times\vec{b}=\lambda(\vec{a}\times\vec{b})=\vec{a}\times(\lambda\vec{b})\)。

4. 坐标表示下的向量积

设\(\vec{a}=(a_{x},a_{y},a_{z})\)，\(\vec{b}=(b_{x},b_{y},b_{z})\)，则\(\vec{a}\times\vec{b}=(a_{y}b_{z}-a_{z}b_{y},a_{z}b_{x}-a_{x}b_{z},a_{x}b_{y}-a_{y}b_{x})\)。

例如，\(\vec{a}=(1,2,3)\)，\(\vec{b}=(3,2,1)\)，那么\(\vec{a}\times\vec{b}=(2\times1 - 3\times2,3\times3 - 1\times1,1\times2 - 2\times3)=(-4,8,-4)\)。

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