1. 隐函数的定义

设\(F(x,y)\)是在某个区域\(D\)内定义的二元函数，如果在\(D\)内存在一个函数\(y = y(x)\)，使得对于\(D\)内的每一个\(x\)，都有\(F(x,y(x)) = 0\)，那么就称\(y = y(x)\)是由方程\(F(x,y)=0\)所确定的隐函数。

例如，方程\(x^{2}+y^{2}-1 = 0\)在\(( - 1,1)\)的某个邻域内确定了一个隐函数\(y=\sqrt{1 - x^{2}}\)（取上半部分）或\(y = -\sqrt{1 - x^{2}}\)（取下半部分）。

2. 隐函数求导方法

直接法：

对于方程\(F(x,y) = 0\)，将\(y\)看作是\(x\)的函数，然后对等式两边关于\(x\)求导。

在求导过程中，根据复合函数求导法则对含有\(y\)的项进行求导。

例如，对于方程\(x^{2}+y^{2}=1\)，对等式两边关于\(x\)求导，得到\(2x + 2y\cdot y^\prime=0\)，解关于\(y^\prime\)的方程，可得\(y^\prime=-\frac{x}{y}\)（\(y\neq0\)）。

公式法（偏导数法）：

若\(F(x,y)\)在点\((x,y)\)的某一邻域内具有连续的偏导数，且\(F_y(x,y)\neq0\)，则由方程\(F(x,y)=0\)所确定的隐函数\(y = y(x)\)的导数为\(y^\prime=-\frac{F_x(x,y)}{F_y(x,y)}\)。

例如，对于方程\(e^{x + y}-xy = 0\)，令\(F(x,y)=e^{x + y}-xy\)，则\(F_x=e^{x + y}-y\)，\(F_y=e^{x + y}-x\)，所以\(y^\prime=-\frac{F_x}{F_y}=-\frac{e^{x + y}-y}{e^{x + y}-x}\)。

一元隐函数求导

例1：设方程\(x^{2}+y^{2}-1 = 0\)，求\(y^\prime\).

令\(F(x,y)=x^{2}+y^{2}-1\)，则\(F_x = 2x\)，\(F_y = 2y\)。

根据隐函数求导公式\(y^\prime = -\frac{F_x}{F_y}\)，可得\(y^\prime = -\frac{2x}{2y}=-\frac{x}{y}\)（\(y\neq0\)）。

例2：求由方程\(y - x - \frac{1}{2}\sin y = 0\)所确定的隐函数\(y = f(x)\)的导数.

令\(F(x,y)=y - x - \frac{1}{2}\sin y\)，则\(F_x=-1\)，\(F_y = 1-\frac{1}{2}\cos y\)。

由公式可得\(y^\prime = -\frac{F_x}{F_y}=-\frac{-1}{1-\frac{1}{2}\cos y}=\frac{1}{1-\frac{1}{2}\cos y}=\frac{2}{2 - \cos y}\) 。

二元隐函数求导

例3：设\(x^{2}+y^{2}+z^{2}-4z = 0\)，求\(\frac{\partial z}{\partial x}\).

令\(F(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}-4z\)，则\(F_x = 2x\)，\(F_y = 2y\)，\(F_z = 2z - 4\)。

根据公式\(\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x}{F_z}\)，可得\(\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{2x}{2z - 4}=\frac{x}{2 - z}\)（\(z\neq2\)）。

例4：对于方程\(e^{x + y}-xy = 0\)，求\(\frac{\partial y}{\partial x}\).

令\(F(x,y)=e^{x + y}-xy\)，则\(F_x=e^{x + y}-y\)，\(F_y=e^{x + y}-x\)。

所以\(\frac{\partial y}{\partial x}=-\frac{F_x}{F_y}=-\frac{e^{x + y}-y}{e^{x + y}-x}\) 。

3. 高阶隐函数导数

在求出一阶导数\(y^\prime\)后，再次将\(y^\prime\)看作是\(x\)的函数，对\(y^\prime\)关于\(x\)求导，就可以得到二阶导数\(y^{\prime\prime}\)。

例如，对于方程\(x^{2}+y^{2}=1\)，已经求得\(y^\prime=-\frac{x}{y}\)（\(y\neq0\)）。

求二阶导数：

对\(y^\prime=-\frac{x}{y}\)关于\(x\)求导，根据商法则\((\frac{u}{v})^\prime=\frac{u^\prime v - uv^\prime}{v^{2}}\)，这里\(u=-x\)，\(v = y\)，\(u^\prime=-1\)，\(v^\prime=y^\prime\)。

所以\(y^{\prime\prime}=-\frac{y - x\cdot y^\prime}{y^{2}}\)，将\(y^\prime=-\frac{x}{y}\)代入可得\(y^{\prime\prime}=-\frac{y +\frac{x^{2}}{y}}{y^{2}}=-\frac{y^{2}+x^{2}}{y^{3}}\)，又因为\(x^{2}+y^{2}=1\)，所以\(y^{\prime\prime}=-\frac{1}{y^{3}}\)（\(y\neq0\)）。

4. 隐函数组的导数

对于由方程组\(\left\{\begin{array}{l}F(x,y,u,v)=0\\G(x,y,u,v)=0\end{array}\right.\)确定的隐函数组\(u = u(x,y)\)，\(v = v(x,y)\)，可以通过对两个方程分别关于\(x\)和\(y\)求偏导数，然后利用克莱姆法则（Cramer's Rule）来求解\(\frac{\partial u}{\partial x}\)，\(\frac{\partial u}{\partial y}\)，\(\frac{\partial v}{\partial x}\)，\(\frac{\partial v}{\partial y}\)等偏导数。

例如，对于方程组\(\left\{\begin{array}{l}u^{2}+v^{2}-x^{2}-y = 0\\u + v - x + y = 0\end{array}\right.\)，设\(F(u,v,x,y)=u^{2}+v^{2}-x^{2}-y\)，\(G(u,v,x,y)=u + v - x + y\)。

先求\(\frac{\partial u}{\partial x}\)：

计算\(F_u = 2u\)，\(F_v = 2v\)，\(G_u = 1\)，\(G_v = 1\)。

根据克莱姆法则\(\frac{\partial u}{\partial x}=-\frac{\left|\begin{array}{ll}F_x&F_v\\G_x&G_v\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ll}F_u&F_v\\G_u&G_v\end{array}\right|}\)，这里\(F_x=-2x\)，\(G_x=-1\)，代入可得\(\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{2x - 2v}{2(u - v)}\)（\(u\neq v\)）。

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