1. 概念理解

定义：设函数\(f(x)\)在区间\([a,+\infty)\)上连续，我们把\(\int_{a}^{+\infty}f(x)dx\)定义为\(\lim\limits_{b\to+\infty}\int_{a}^{b}f(x)dx\)。如果这个极限存在，就说反常积分\(\int_{a}^{+\infty}f(x)dx\)收敛；如果极限不存在，就说反常积分\(\int_{a}^{+\infty}f(x)dx\)发散。例如，对于\(\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x^{2}}dx\)，先求\(\int_{1}^{b}\frac{1}{x^{2}}dx\)，根据定积分计算法则，\(\int_{1}^{b}\frac{1}{x^{2}}dx = -\frac{1}{x}\big|_{1}^{b}=1-\frac{1}{b}\)，然后求极限\(\lim\limits_{b\to+\infty}(1 - \frac{1}{b}) = 1\)，所以\(\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x^{2}}dx\)收敛。

几何意义：可以看作是函数\(y = f(x)\)在无穷区间\([a,+\infty)\)与\(x\)轴所围成的“无限延伸的面积”。如果这个面积是有限值，反常积分收敛；如果面积是无穷大，反常积分发散。例如，\(y=\frac{1}{x}\)（\(x\geq1\)）与\(x\)轴围成的面积随着\(x\)趋于无穷而无限增大，所以\(\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x}dx\)发散。

2. 计算方法

牛顿 - 莱布尼茨公式的推广：先求出被积函数\(f(x)\)的一个原函数\(F(x)\)，然后计算\(\lim\limits_{b\to+\infty}[F(b)-F(a)]\)。例如，计算\(\int_{0}^{+\infty}e^{-x}dx\)，原函数是\(-e^{-x}\)，则\(\lim\limits_{b\to+\infty}(-e^{-b}+1)=1\)。

换元法：通过换元将复杂的积分转化为容易计算的形式。例如，计算\(\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{x}(x + 1)}dx\)，令\(t=\sqrt{x}\)，则\(x = t^{2}\)，\(dx = 2tdt\)，当\(x = 1\)时，\(t = 1\)；当\(x\to+\infty\)时，\(t\to+\infty\)。原积分变为\(\int_{1}^{+\infty}\frac{2}{t^{2}+1}dt\)，而\(\int\frac{1}{t^{2}+1}dt=\arctan t + C\)，所以\(\int_{1}^{+\infty}\frac{2}{t^{2}+1}dt=2\lim\limits_{b\to+\infty}(\arctan b-\arctan1)=2(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4})=\frac{\pi}{2}\)。

分部积分法：设\(u\)和\(v^\prime\)是被积函数的两个部分，利用分部积分公式\(\int_{a}^{+\infty}u(x)v^\prime(x)dx=[u(x)v(x)]_{a}^{+\infty}-\int_{a}^{+\infty}u^\prime(x)v(x)dx\)，其中\([u(x)v(x)]_{a}^{+\infty}=\lim\limits_{b\to+\infty}[u(b)v(b)-u(a)v(a)]\)。例如，计算\(\int_{0}^{+\infty}x e^{-x}dx\)，设\(u = x\)，\(v^\prime=e^{-x}\)，则\(u^\prime = 1\)，\(v=-e^{-x}\)。根据分部积分公式可得\(\int_{0}^{+\infty}x e^{-x}dx=[-x e^{-x}]_{0}^{+\infty}+\int_{0}^{+\infty}e^{-x}dx\)，对于\([-x e^{-x}]_{0}^{+\infty}\)，\(\lim\limits_{x\to+\infty}-x e^{-x}=0\)（可通过洛必达法则证明），所以\(\int_{0}^{+\infty}x e^{-x}dx=1\)。

3. 敛散性判别法

比较判别法：设函数\(f(x)\)、\(g(x)\)在区间\([a,+\infty)\)上连续，且\(0\leq f(x)\leq g(x)\)。如果\(\int_{a}^{+\infty}g(x)dx\)收敛，那么\(\int_{a}^{+\infty}f(x)dx\)也收敛；如果\(\int_{a}^{+\infty}f(x)dx\)发散，那么\(\int_{a}^{+\infty}g(x)dx\)也发散。例如，要判断\(\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{x^{3}+1}}dx\)的敛散性，因为\(\frac{1}{\sqrt{x^{3}+1}}\leq\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}\)，且\(\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}dx\)收敛，所以\(\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{x^{3}+1}}dx\)收敛。

极限判别法：设函数\(f(x)\)在区间\([a,+\infty)\)上连续且非负。如果\(\lim\limits_{x\to+\infty}x^{p}f(x)=l\)（\(0\leq l<+\infty\)），当\(p > 1\)时，\(\int_{a}^{+\infty}f(x)dx\)收敛；如果\(\lim\limits_{x\to+\infty}x^{p}f(x)=l\)（\(0 < l\leq+\infty\)），当\(p\leq1\)时，\(\int_{a}^{+\infty}f(x)dx\)发散。例如，对于\(\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x\ln x}dx\)，令\(f(x)=\frac{1}{x\ln x}\)，\(\lim\limits_{x\to+\infty}x\cdot\frac{1}{x\ln x}=\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{1}{\ln x}=+\infty\)，因为\(p = 1\)，所以该反常积分发散。

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