1. 常数函数

定义：表达式为\(y = C\)（\(C\)为常数），如\(y = 3\)。无论\(x\)取何值，\(y\)的值始终固定为\(C\)。

性质：

定义域为\(( - \infty,+\infty)\)，值域为\(\{C\}\)。

图像是一条平行于\(x\)轴的直线，过点\((0,C)\)。

导数为\(0\)，它是最平稳的函数，没有变化率。

2. 一次函数

定义：一般式为\(y = kx + b\)（\(k\neq0\)），例如\(y = 2x - 1\)。其中\(k\)是斜率，决定直线的倾斜程度；\(b\)是\(y\)轴截距。

性质：

定义域和值域均为\(( - \infty,+\infty)\)。

当\(k>0\)时，函数单调递增；当\(k < 0\)时，函数单调递减。

其图像是一条直线，通过点\((0,b)\)，斜率\(k\)控制直线的倾斜方向和陡峭程度。

3. 二次函数

定义：通常表示为\(y = ax^{2}+bx + c\)（\(a\neq0\)），像\(y = x^{2}+2x - 3\)。

性质：

定义域是\(( - \infty,+\infty)\)。当\(a>0\)时，值域是\([\frac{4ac - b^{2}}{4a},+\infty)\)；当\(a < 0\)时，值域是\(( - \infty,\frac{4ac - b^{2}}{4a}]\)。

图像是一条抛物线。当\(a>0\)时，抛物线开口向上；当\(a < 0\)时，开口向下。对称轴为\(x = -\frac{b}{2a}\)。

4. 反比例函数

定义：表达式为\(y=\frac{k}{x}\)（\(k\neq0\)），如\(y=\frac{3}{x}\)。

性质：

定义域是\(\{x|x\neq0\}\)，值域是\(\{y|y\neq0\}\)。

当\(k>0\)时，在\(( - \infty,0)\)和\((0,+\infty)\)上单调递减；当\(k < 0\)时，在\(( - \infty,0)\)和\((0,+\infty)\)上单调递增。

图像是双曲线，关于原点对称。

5. 绝对值函数

定义：一般形式为\(y = |x|\)或\(y = |ax + b|\)（\(a,b\)为常数），例如\(y = |2x - 1|\)。

性质：

定义域为\(( - \infty,+\infty)\)，值域是\([0,+\infty)\)。

图像呈“V”字形，\(y = |x|\)的顶点在原点，\(y = |ax + b|\)的顶点在\(x = -\frac{b}{a}\)处（\(a\neq0\)）。

6. 符号函数

定义：\(y = sgn(x)=\begin{cases}1, & x>0 \\ 0, & x = 0 \\ - 1, & x < 0\end{cases}\)。

性质：

定义域为\(( - \infty,+\infty)\)，值域为\(\{-1,0,1\}\)。

它是一个分段函数，用于判断\(x\)的正负性。

7. 取整函数

定义：\(y = [x]\)，表示不超过\(x\)的最大整数。例如，\([3.7]=3\)，\([ - 2.3]= - 3\)。

性质：

定义域为\(( - \infty,+\infty)\)，值域为整数集\(Z\)。

图像是阶梯状的，在每个整数区间内保持常数。

8. 正弦函数

定义：\(y = \sin x\)，\(x\in( - \infty,+\infty)\)。

性质：

定义域为\(( - \infty,+\infty)\)，值域是\([ - 1,1]\)。

是周期函数，周期为\(2\pi\)，即\(\sin(x + 2\pi)=\sin x\)。

是奇函数，\(\sin(-x)=-\sin x\)，图像关于原点对称。

9. 余弦函数

定义：\(y = \cos x\)，\(x\in( - \infty,+\infty)\)。

性质：

定义域为\(( - \infty,+\infty)\)，值域是\([ - 1,1]\)。

周期为\(2\pi\)，\(\cos(x + 2\pi)=\cos x\)。

是偶函数，\(\cos(-x)=\cos x\)，图像关于\(y\)轴对称。

10. 正切函数

定义：\(y = \tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\)，定义域为\(\left\{x|x\neq k\pi+\frac{\pi}{2},k\in Z\right\}\)。

性质：

值域为\(( - \infty,+\infty)\)。

周期为\(\pi\)，即\(\tan(x + \pi)=\tan x\)。

是奇函数，\(\tan(-x)=-\tan x\)，图像有无数条渐近线\(x = k\pi+\frac{\pi}{2}(k\in Z)\)。

11. 反正弦函数

定义：\(y = \arcsin x\)，定义域为\([ - 1,1]\)，值域为\([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\)。它是\(y = \sin x\)（\(x\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\)）的反函数。

性质：

是单调递增函数。

满足\(\sin(\arcsin x)=x\)（\(x\in[ - 1,1]\)）和\(\arcsin(\sin x)=x\)（\(x\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\)）。

12. 反余弦函数

定义：\(y = \arccos x\)，定义域为\([ - 1,1]\)，值域为\([0,\pi]\)。它是\(y = \cos x\)（\(x\in[0,\pi]\)）的反函数。

性质：

是单调递减函数。

满足\(\cos(\arccos x)=x\)（\(x\in[ - 1,1]\)）和\(\arccos(\cos x)=x\)（\(x\in[0,\pi]\)）。

13. 反正切函数

定义：\(y = \arctan x\)，定义域为\(( - \infty,+\infty)\)，值域为\((-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\)。它是\(y = \tan x\)（\(x\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\)）的反函数。

性质：

是单调递增函数。

满足\(\tan(\arctan x)=x\)（\(x\in( - \infty,+\infty)\)）和\(\arctan(\tan x)=x\)（\(x\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\)）。

14. 指数函数

定义：\(y = a^{x}\)（\(a>0\)且\(a\neq1\)），如\(y = 2^{x}\)或\(y = e^{x}\)（\(e\approx2.71828\)）。

性质：

定义域为\(( - \infty,+\infty)\)，值域为\((0,+\infty)\)。

当\(a>1\)时，函数单调递增；当\(0 < a < 1\)时，函数单调递减。

图像恒过点\((0,1)\)，即\(a^{0}=1\)。

15. 对数函数

定义：\(y = \log_{a}x\)（\(a>0\)且\(a\neq1\)），是指数函数\(y = a^{x}\)的反函数。例如\(y = \log_{2}x\)或\(y=\ln x\)（\(n\)以\(e\)为底，即\(\log_{e}x\)）。

性质：

定义域为\((0,+\infty)\)，值域为\(( - \infty,+\infty)\)。

当\(a>1\)时，函数单调递增；当\(0 < a < 1\)时，函数单调递减。

图像恒过点\((1,0)\)，因为\(\log_{a}1 = 0\)。

16. 双曲正弦函数

定义：\(y = \sinh x=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}\)。

性质：

定义域为\(( - \infty,+\infty)\)，值域为\(( - \infty,+\infty)\)。

是奇函数，\(\sinh(-x)=-\sinh x\)。

它的导数是\(\cosh x\)。

17. 双曲余弦函数

定义：\(y = \cosh x=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}\)。

性质：

定义域为\(( - \infty,+\infty)\)，值域是\([1,+\infty)\)。

是偶函数，\(\cosh(-x)=\cosh x\)。

它的导数是\(\sinh x\)。

18. 双曲正切函数

定义：\(y = \tanh x=\frac{\sinh x}{\cosh x}=\frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}\)。

性质：

定义域为\(( - \infty,+\infty)\)，值域是\(( - 1,1)\)。

是奇函数，\(\tanh(-x)=-\tanh x\)。

函数单调递增。

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