1. 两直线夹角定义

设直线\(L_1\)的方向向量为\(\vec{s}_1=(m_1,n_1,p_1)\)，直线\(L_2\)的方向向量为\(\vec{s}_2=(m_2,n_2,p_2)\)，两直线\(L_1\)与\(L_2\)的夹角\(\theta\)（\(0\leq\theta\leq\frac{\pi}{2}\)）满足\(\cos\theta=\frac{\vert\vec{s}_1\cdot\vec{s}_2\vert}{\vert\vec{s}_1\vert\vert\vec{s}_2\vert}\)，即\(\cos\theta=\frac{\vert m_1m_2 + n_1n_2 + p_1p_2\vert}{\sqrt{m_1^{2}+n_1^{2}+p_1^{2}}\sqrt{m_2^{2}+n_2^{2}+p_2^{2}}}\)。

2. 特殊情况说明

两直线平行：当两直线平行时，它们的方向向量平行，即\(\vec{s}_1 = k\vec{s}_2\)（\(k\)为常数），此时\(\frac{m_1}{m_2}=\frac{n_1}{n_2}=\frac{p_1}{p_2}\)，并且两直线夹角\(\theta = 0\)或\(\pi\)，在计算夹角公式中\(\cos\theta=\pm1\)。

两直线垂直：当两直线垂直时，它们的方向向量垂直，\(\vec{s}_1\cdot\vec{s}_2 = 0\)，即\(m_1m_2 + n_1n_2 + p_1p_2 = 0\)，此时两直线夹角\(\theta=\frac{\pi}{2}\)，\(\cos\theta = 0\)。

3. 应用示例

例1：已知直线\(L_1\)的方向向量为\(\vec{s}_1=(1,2, - 1)\)，直线\(L_2\)的方向向量为\(\vec{s}_2=(3, - 1,2)\)，求两直线的夹角。

根据两直线夹角公式\(\cos\theta=\frac{\vert\vec{s}_1\cdot\vec{s}_2\vert}{\vert\vec{s}_1\vert\vert\vec{s}_2\vert}\)，先计算\(\vec{s}_1\cdot\vec{s}_2 = 1\times3+2\times(- 1)+(-1)\times2=-1\)。

再计算\(\vert\vec{s}_1\vert=\sqrt{1^{2}+2^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{6}\)，\(\vert\vec{s}_2\vert=\sqrt{3^{2}+(-1)^{2}+2^{2}}=\sqrt{14}\)。

所以\(\cos\theta=\frac{\vert - 1\vert}{\sqrt{6}\times\sqrt{14}}=\frac{\sqrt{21}}{42}\)，则\(\theta=\arccos\frac{\sqrt{21}}{42}\)。

例2：已知直线\(L_1:\frac{x - 1}{2}=\frac{y + 1}{3}=\frac{z - 2}{-1}\)和直线\(L_2:\frac{x + 1}{-1}=\frac{y - 1}{2}=\frac{z}{3}\)，判断两直线的位置关系。

直线\(L_1\)的方向向量\(\vec{s}_1=(2,3,-1)\)，直线\(L_2\)的方向向量\(\vec{s}_2=(-1,2,3)\)。

计算\(\vec{s}_1\cdot\vec{s}_2 = 2\times(-1)+3\times2+(-1)\times3 = 1\)。

因为\(\vec{s}_1\cdot\vec{s}_2\neq0\)，所以两直线不垂直。

又因为\(\frac{2}{-1}\neq\frac{3}{2}\neq\frac{-1}{3}\)，所以两直线不平行。

因此两直线相交，再根据夹角公式\(\cos\theta=\frac{\vert\vec{s}_1\cdot\vec{s}_2\vert}{\vert\vec{s}_1\vert\vert\vec{s}_2\vert}\)计算夹角\(\theta\)，\(\vert\vec{s}_1\vert=\sqrt{2^{2}+3^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{14}\)，\(\vert\vec{s}_2\vert=\sqrt{(-1)^{2}+2^{2}+3^{2}}=\sqrt{14}\)，\(\cos\theta=\frac{\vert1\vert}{\sqrt{14}\times\sqrt{14}}=\frac{1}{14}\)，\(\theta=\arccos\frac{1}{14}\)。

例3：求过点\(A(1,0,0)\)且与直线\(L:\frac{x - 2}{3}=\frac{y + 1}{2}=\frac{z}{-1}\)夹角为\(\frac{\pi}{3}\)的直线方程。

设所求直线的方向向量为\(\vec{s}=(m,n,p)\)，已知直线\(L\)的方向向量\(\vec{s}_0=(3,2,-1)\)。

根据夹角公式\(\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}=\frac{\vert\vec{s}\cdot\vec{s}_0\vert}{\vert\vec{s}\vert\vert\vec{s}_0\vert}\)，即\(\frac{\vert3m + 2n - p\vert}{\sqrt{m^{2}+n^{2}+p^{2}}\sqrt{3^{2}+2^{2}+(-1)^{2}}}=\frac{1}{2}\)。

又因为直线过点\(A(1,0,0)\)，所以直线方程为\(\frac{x - 1}{m}=\frac{y - 0}{n}=\frac{z - 0}{p}\)。

联立上述方程求解，设\(\frac{3m + 2n - p}{\sqrt{m^{2}+n^{2}+p^{2}}\sqrt{14}}=\frac{1}{2}\)，平方后化简得到一个关于\(m\)、\(n\)、\(p\)的方程，再结合方向向量的性质（\(m\)、\(n\)、\(p\)不同时为\(0\)），可以求出\(\vec{s}\)，进而得到直线方程。（具体求解过程涉及解方程组，这里可能会有多种情况，需要根据实际计算得到具体的直线方程）

高等数学