1. 二次曲面的定义

二次曲面是指三元二次方程所表示的曲面。其一般方程为：

\(Ax^{2}+By^{2}+Cz^{2}+Dxy + Eyz+Fxz + Gx + Hy + Iz + J = 0\)

其中\(A,B,C,D,E,F,G,H,I,J\)为常数，且\(A,B,C\)不全为\(0\)。

2. 常见二次曲面及其标准方程、图形特点

椭球面

标准方程：\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}} = 1\)（\(a>0,b>0,c>0\)）。

图形特点：它关于坐标原点\((0,0,0)\)对称，也关于三个坐标轴\(x\)轴、\(y\)轴、\(z\)轴对称。当\(a = b = c\)时，椭球面就变成了球面。例如，方程\(\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}+\frac{z^{2}}{16}=1\)表示的是一个在\(x\)方向半轴长为\(2\)，\(y\)方向半轴长为\(3\)，\(z\)方向半轴长为\(4\)的椭球面。

抛物面

椭圆抛物面：

标准方程：\(z=\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}\)（\(a>0,b>0\)）。

图形特点：它的图形开口向上（当\(z\)系数为正），关于\(z\)轴对称。例如，方程\(z=\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}\)的曲面形状像一个碗，在\(x\)方向上变化相对\(y\)方向较缓。

双曲抛物面（马鞍面）：

标准方程：\(z=\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}\)（\(a>0,b>0\)）。

图形特点：它的形状像一个马鞍，在\(x\)轴方向向上开口，在\(y\)轴方向向下开口。例如，方程\(z=\frac{x^{2}}{1}-\frac{y^{2}}{1}\)在原点附近，\(x\)增大\(z\)增大，\(y\)增大\(z\)减小。

双曲面

单叶双曲面：

标准方程：\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}} = 1\)（\(a>0,b>0,c>0\)）。

图形特点：它是一个连通的曲面，形状类似一个无限延伸的管道，关于三个坐标轴都对称。例如，方程\(\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}-\frac{z^{2}}{16}=1\)的单叶双曲面在空间中沿着\(z\)轴方向延伸。

双叶双曲面：

标准方程：\(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}} = 1\)（\(a>0,b>0,c>0\)）。

图形特点：它由两部分组成，关于三个坐标轴对称。例如，方程\(\frac{x^{2}}{1}-\frac{y^{2}}{4}-\frac{z^{2}}{9}=1\)的双叶双曲面有两个分支，分别位于\(z\)轴两侧。

3. 二次曲面的截痕法研究图形

截痕法是通过用平行于坐标平面的平面去截二次曲面，观察截得的曲线（截痕）的形状来研究二次曲面的形状。

例如，对于椭球面\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}} = 1\)，用平面\(z = z_0\)（\(\vert z_0\vert < c\)）去截，得到的截痕方程为\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1-\frac{z_0^{2}}{c^{2}}\)，这是一个椭圆方程。随着\(z_0\)的变化，椭圆的大小在改变，当\(z_0 = 0\)时，椭圆最大；当\(\vert z_0\vert\)趋近于\(c\)时，椭圆越来越小。同样，可以用平面\(x = x_0\)和\(y = y_0\)去截，来全面了解椭球面的形状。

例1：判断二次曲面类型（椭球面）

已知方程\(\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{16}+\frac{z^{2}}{25}=1\)，判断其表示的二次曲面类型。

分析：此方程符合椭球面的标准方程\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}} = 1\)（\(a>0,b>0,c>0\)）的形式，其中\(a = 3\)，\(b = 4\)，\(c = 5\)。

所以该方程表示的是一个椭球面。

例2：判断二次曲面类型（椭圆抛物面）

对于方程\(z=\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{2}\)，判断其表示的二次曲面类型。

分析：方程符合椭圆抛物面的标准方程\(z=\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}\)（\(a>0,b>0\)）的形式，这里\(a = 2\)，\(b=\sqrt{2}\)。

所以它表示一个椭圆抛物面。

例3：判断二次曲面类型（双曲抛物面）

考虑方程\(z=x^{2}-y^{2}\)，判断其二次曲面类型。

分析：该方程为双曲抛物面的标准方程\(z=\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}\)（\(a = 1,b = 1\)）的形式。

所以方程\(z=x^{2}-y^{2}\)表示一个双曲抛物面（马鞍面）。

例4：判断二次曲面类型（单叶双曲面）

给定方程\(\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}- \frac{z^{2}}{4}=1\)，判断曲面类型。

分析：方程符合单叶双曲面的标准方程\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}} = 1\)（\(a>0,b>0,c>0\)），这里\(a = 4\)，\(b = 3\)，\(c = 2\)。

所以它表示一个单叶双曲面。

例5：判断二次曲面类型（双叶双曲面）

对于方程\(\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{9}-\frac{z^{2}}{16}=1\)，判断其曲面类型。

分析：此方程满足双叶双曲面的标准方程\(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}} = 1\)（\(a>0,b>0,c>0\)），其中\(a = 2\)，\(b = 3\)，\(c = 4\)。

所以它表示一个双叶双曲面。

例6：用截痕法研究椭球面（平面\(z = z_0\)截痕）

对于椭球面方程\(\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}+\frac{z^{2}}{16}=1\)，用平面\(z = z_0\)（\(\vert z_0\vert<4\)）去截，求截痕方程并分析形状。

分析：将\(z = z_0\)代入椭球面方程得\(\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1-\frac{z_0^{2}}{16}\)，这是一个椭圆方程。

当\(z_0 = 0\)时，椭圆方程为\(\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1\)，长半轴为\(3\)，短半轴为\(2\)。随着\(\vert z_0\vert\)增大，\(1-\frac{z_0^{2}}{16}\)减小，椭圆变小。

例7：用截痕法研究椭圆抛物面（平面\(z = z_0\)截痕）

对于椭圆抛物面\(z=\frac{x^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{3}\)，用平面\(z = z_0\)（\(z_0\geq0\)）去截，求截痕方程并分析形状。

分析：截痕方程为\(\frac{x^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{3}=z_0\)，当\(z_0>0\)时，这是一个椭圆方程，长半轴为\(\sqrt{6z_0}\)，短半轴为\(\sqrt{4z_0}\)。说明随着\(z_0\)增大，椭圆的大小在增大。

例8：求旋转曲面方程（绕\(z\)轴）

已知\(yOz\)平面上的曲线\(y^{2}=2z\)，求绕\(z\)轴旋转所形成的旋转曲面方程。

分析：根据旋转曲面方程的推导，将\(y=\pm\sqrt{x^{2}+y^{2}}\)代入\(y^{2}=2z\)，得到旋转曲面方程为\((\pm\sqrt{x^{2}+y^{2}})^{2}=2z\)，即\(x^{2}+y^{2}=2z\)，这是一个旋转抛物面方程。

例9：求旋转曲面方程（绕\(x\)轴）

若\(xOz\)平面上的曲线\(z = \sin x\)，求绕\(x\)轴旋转所形成的旋转曲面方程。

分析：把\(z=\pm\sqrt{y^{2}+z^{2}}\)代入\(z = \sin x\)，得到\(\pm\sqrt{y^{2}+z^{2}}=\sin x\)，即\(y^{2}+z^{2}=\sin^{2}x\)。

例10：配方判断二次曲面类型

对于方程\(x^{2}+3y^{2}-z^{2}+2x - 4y + 6z - 5 = 0\)，通过配方判断其表示的二次曲面类型。

分析：

对\(x\)部分：\(x^{2}+2x=(x + 1)^{2}-1\)。

对\(y\)部分：\(3y^{2}-4y = 3\left(y-\frac{2}{3}\right)^{2}-\frac{4}{3}\)。

对\(z\)部分：\(-z^{2}+6z=-(z - 3)^{2}+9\)。

原方程可化为\((x + 1)^{2}+3\left(y-\frac{2}{3}\right)^{2}-(z - 3)^{2}=5 + 1+\frac{4}{3}-9\)，进一步化简得\((x + 1)^{2}+3\left(y-\frac{2}{3}\right)^{2}-(z - 3)^{2}=\frac{1}{3}\)，此方程符合单叶双曲面的形式，所以表示一个单叶双曲面。

高等数学