反双曲余弦函数：\(y = \text{arcosh}(x)\)
1. 反双曲余弦函数的定义
反双曲余弦函数是双曲余弦函数\(y = \cosh(x)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}\)的反函数。记为\(x = \text{arcosh}(y)\)。
对于\(y=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}\)，令\(t = e^{x}(t>0)\)，则方程变为\(y=\frac{t+\frac{1}{t}}{2}\)，整理得\(t^{2}-2yt + 1 = 0\)。
解这个一元二次方程，\(t=y\pm\sqrt{y^{2}-1}\)，因为\(t = e^{x}>0\)，所以\(t=y + \sqrt{y^{2}-1}\)（这里要求\(y\geqslant1\)），则\(x=\ln(y+\sqrt{y^{2}-1})\)，所以\(\text{arcosh}(y)=\ln(y+\sqrt{y^{2}-1})\)，其定义域为\([1,+\infty)\)。
2. 反双曲余弦函数的性质
单调性：在定义域\([1,+\infty)\)上单调递增。因为双曲余弦函数\(y = \cosh(x)\)在\((0,+\infty)\)上单调递增，根据反函数的性质，反双曲余弦函数在其定义域上也单调递增。
值域：反双曲余弦函数的值域是\([0,+\infty)\)。这是因为原双曲余弦函数\(\cosh(x)\)当\(x = 0\)时取最小值\(1\)，并且\(x\)从\(0\)开始增大时，\(\cosh(x)\)的值也增大，其反函数的值域与之对应。
奇偶性：它不是奇函数也不是偶函数。因为双曲余弦函数\(\cosh(x)\)是偶函数，其反函数不具备奇偶性。
3. 反双曲余弦函数的导数
根据反函数求导法则，对于\(y = \cosh(x)\)，\(y^\prime=\sinh(x)\)，所以\((\text{arcosh}(y))^\prime=\frac{1}{\sinh(\text{arcosh}(y))}\)。
由\(\cosh^{2}(x)-\sinh^{2}(x)=1\)，对于\(x = \text{arcosh}(y)\)，\(\sinh(\text{arcosh}(y))=\sqrt{y^{2}-1}\)（因为\(y\geqslant1\)），所以\((\text{arcosh}(y))^\prime=\frac{1}{\sqrt{y^{2}-1}}\)，\(y>1\)。
例1：求导问题
已知函数\(y = \text{arcosh}(x^{2})\)，求\(y^\prime\)。
令\(u = x^{2}\)，则\(y=\text{arcosh}(u)\)。
首先求\(y\)关于\(u\)的导数，根据\((\text{arcosh}(u))^\prime=\frac{1}{\sqrt{u^{2}-1}}\)（\(u > 1\)）。
然后求\(u\)关于\(x\)的导数，\(u^\prime = 2x\)。
由复合函数求导公式\(y^\prime = y^\prime_{u}\cdot u^\prime_{x}\)，可得\(y^\prime=\frac{2x}{\sqrt{(x^{2})^{2}-1}}=\frac{2x}{\sqrt{x^{4}-1}}\)（\(x^{2}>1\)，即\(x > 1\)或\(x < - 1\)）。
例2：积分计算
计算\(\int\frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}dx\)（\(x > 1\)）。
我们知道\(\int\frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}dx=\text{arcosh}(x)+C\)。
例如，计算定积分\(\int_{2}^{3}\frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}dx\)，根据牛顿 - 莱布尼茨公式，结果为\([\text{arcosh}(x)]_{2}^{3}=\text{arcosh}(3)-\text{arcosh}(2)\)。
因为\(\text{arcosh}(x)=\ln(x+\sqrt{x^{2}-1})\)，所以\(\text{arcosh}(3)-\text{arcosh}(2)=\ln(3 + \sqrt{9 - 1})-\ln(2+\sqrt{4 - 1})=\ln\frac{3+\sqrt{8}}{2+\sqrt{3}}\)。
例3：解方程
求解方程\(\text{arcosh}(x)=2\)。
由\(\text{arcosh}(x)=\ln(x+\sqrt{x^{2}-1})\)，则\(\ln(x+\sqrt{x^{2}-1}) = 2\)。
两边同时取指数，可得\(x+\sqrt{x^{2}-1}=e^{2}\)。
移项得\(\sqrt{x^{2}-1}=e^{2}-x\)，两边平方得\(x^{2}-1=(e^{2}-x)^{2}=e^{4}-2e^{2}x+x^{2}\)。
化简可得\(2e^{2}x=e^{4}+1\)，解得\(x=\frac{e^{4}+1}{2e^{2}}\)。
例4：证明等式（涉及反函数性质）
证明\(\text{arcosh}(x)=\ln(x+\sqrt{x^{2}-1})\)满足\(\cosh(\text{arcosh}(x))=x\)（\(x\geqslant1\)）。
设\(y = \text{arcosh}(x)\)，则\(x=\cosh(y)=\frac{e^{y}+e^{-y}}{2}\)。
又因为\(y=\ln(x+\sqrt{x^{2}-1})\)，代入\(\cosh(y)\)可得：
\(\cosh(y)=\frac{(x+\sqrt{x^{2}-1})+(x-\sqrt{x^{2}-1})}{2}=x\)，证明完毕。
例5：在几何中的应用（圆锥曲线）
在双曲线\(x^{2}-y^{2}=1\)（\(x\geqslant1\)）中，设\(x = \cosh(t)\)，\(y = \sinh(t)\)。
若已知点\((x,y)\)在双曲线上，且\(x\)的值已知，要求\(t\)，则可以使用反双曲余弦函数。
例如，若\(x = 2\)，则\(t=\text{arcosh}(2)=\ln(2+\sqrt{4 - 1})=\ln(2+\sqrt{3})\)，这样可以通过反双曲函数来确定参数\(t\)的值，进而研究双曲线的参数方程等相关性质。
