1. 定义

设函数\(f(x)\)在区间\(I\)（\(I\)可以是开区间、闭区间、半开半闭区间或无穷区间）上有定义。如果对于任意给定的正数\(\varepsilon>0\)，总存在一个正数\(\delta > 0\)，使得对于区间\(I\)上的任意两点\(x_{1}\)、\(x_{2}\)，只要\(\vert x_{1}-x_{2}\vert<\delta\)，就有\(\vert f(x_{1})-f(x_{2})\vert<\varepsilon\)，那么称函数\(f(x)\)在区间\(I\)上一致连续。

例如，函数\(y = x\)在\((-\infty,+\infty)\)上是一致连续的。给定\(\varepsilon>0\)，取\(\delta=\varepsilon\)，对于任意的\(x_{1},x_{2}\in(-\infty,+\infty)\)，当\(\vert x_{1}-x_{2}\vert<\delta\)时，\(\vert f(x_{1}) - f(x_{2})\vert=\vert x_{1}-x_{2}\vert<\varepsilon\)。

2. 与普通连续性的区别

普通连续性是局部性质。对于函数\(y = f(x)\)在点\(x_{0}\)处连续，是指\(\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)=f(x_{0})\)，它只关注函数在\(x_{0}\)这一个点附近的行为。

一致连续性是整体性质，它要求对于区间\(I\)上任意两点，只要它们足够接近（距离小于\(\delta\)），函数值的差的绝对值就小于\(\varepsilon\)，是对整个区间的一种“均匀”的连续要求。

3. 定理和判定方法

康托尔定理（闭区间上连续函数的性质）：如果函数\(f(x)\)在闭区间\([a,b]\)上连续，那么\(f(x)\)在\([a,b]\)上一致连续。

证明思路：采用反证法。假设\(f(x)\)在\([a,b]\)上不一致连续，那么存在\(\varepsilon_{0}>0\)，对任意的\(\delta>0\)，都能找到\(x_{1},x_{2}\in[a,b]\)，使得\(\vert x_{1}-x_{2}\vert<\delta\)但\(\vert f(x_{1})-f(x_{2})\vert\geqslant\varepsilon_{0}\)。通过构造数列等方法可以推出矛盾，从而证明原命题。

对于开区间\((a,b)\)，函数\(f(x)\)在\((a,b)\)上连续不一定一致连续。例如\(f(x)=\frac{1}{x}\)在\((0,1)\)上连续，但不一致连续。可以通过取\(\varepsilon = 1\)，对于任意的\(\delta>0\)，取\(x_{1}=\frac{\delta}{2}\)，\(x_{2}=\frac{\delta}{3}\)，\(\vert x_{1}-x_{2}\vert=\frac{\delta}{6}<\delta\)，但是\(\vert f(x_{1})-f(x_{2})\vert=\vert\frac{2}{\delta}-\frac{3}{\delta}\vert=\frac{1}{\delta}\)，当\(\delta\)足够小时，\(\frac{1}{\delta}>1\)，不符合一致连续的定义。

4. 应用场景

在分析函数的性质，如函数列的收敛性等方面有重要应用。例如，当研究函数列\(\{f_{n}(x)\}\)是否一致收敛时，函数的一致连续性可以帮助我们判断极限函数是否也具有良好的性质。

在数值分析中，一致连续性可以保证在对函数进行数值计算（如近似积分等）时，误差能够得到有效的控制。因为如果一个函数在某个区间上是一致连续的，那么在这个区间内，当自变量的变化很小时，函数值的变化也会被限制在一定范围内，从而使得数值计算的结果更加可靠。

高等数学