1. 基本函数的微分法则

常数函数：

若\(y = C\)（\(C\)为常数），因为\(y^\prime = 0\)，根据微分公式\(dy = y^\prime dx\)，所以\(dy = 0\cdot dx = 0\)。

幂函数：

对于\(y = x^{n}\)（\(n\)为实数），\(y^\prime=nx^{n - 1}\)，则\(dy = nx^{n - 1}dx\)。

例如，若\(y = x^{3}\)，\(y^\prime = 3x^{2}\)，所以\(dy = 3x^{2}dx\)。

指数函数：

对于\(y = a^{x}\)（\(a>0,a\neq1\)），\(y^\prime=a^{x}\ln a\)，那么\(dy=a^{x}\ln a dx\)。

例如，若\(y = 2^{x}\)，\(y^\prime = 2^{x}\ln 2\)，所以\(dy = 2^{x}\ln 2dx\)。

当\(a = e\)时，\(y = e^{x}\)，\(y^\prime=e^{x}\)，则\(dy = e^{x}dx\)。

对数函数：

对于\(y=\log_{a}x\)（\(a>0,a\neq1,x>0\)），\(y^\prime=\frac{1}{x\ln a}\)，所以\(dy=\frac{1}{x\ln a}dx\)。

例如，若\(y=\log_{2}x\)，\(y^\prime=\frac{1}{x\ln 2}\)，则\(dy=\frac{1}{x\ln 2}dx\)。

当\(a = e\)时，\(y=\ln x\)，\(y^\prime=\frac{1}{x}\)，则\(dy=\frac{1}{x}dx\)。

三角函数：

若\(y = \sin x\)，\(y^\prime=\cos x\)，所以\(dy=\cos xdx\)。

若\(y = \cos x\)，\(y^\prime=-\sin x\)，则\(dy=-\sin xdx\)。

若\(y=\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\)，\(y^\prime=\sec^{2}x=\frac{1}{\cos^{2}x}\)，所以\(dy=\sec^{2}xdx\)。

若\(y=\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}\)，\(y^\prime=-\csc^{2}x=-\frac{1}{\sin^{2}x}\)，则\(dy=-\csc^{2}xdx\)。

若\(y=\sec x=\frac{1}{\cos x}\)，\(y^\prime=\sec x\tan x\)，所以\(dy=\sec x\tan xdx\)。

若\(y=\csc x=\frac{1}{\sin x}\)，\(y^\prime=-\csc x\cot x\)，则\(dy=-\csc x\cot xdx\)。

反三角函数：

若\(y = \arcsin x\)，\(y^\prime=\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}\)，所以\(dy=\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}dx\)。

若\(y=\arccos x\)，\(y^\prime=-\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}\)，则\(dy=-\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}dx\)。

若\(y=\arctan x\)，\(y^\prime=\frac{1}{1 + x^{2}}\)，所以\(dy=\frac{1}{1 + x^{2}}dx\)。

若\(y=\text{arccot}x\)，\(y^\prime=-\frac{1}{1 + x^{2}}\)，则\(dy=-\frac{1}{1 + x^{2}}dx\)。

2. 四则运算的微分法则

加法法则：

若\(y = u(x)+v(x)\)，则\(y^\prime=(u(x)+v(x))^\prime = u^\prime(x)+v^\prime(x)\)，所以\(dy=(u^\prime(x)+v^\prime(x))dx = du + dv\)。

例如，若\(y = x^{2}+\sin x\)，\(u(x)=x^{2}\)，\(v(x)=\sin x\)，\(du = 2xdx\)，\(dv=\cos xdx\)，则\(dy=(2x + \cos x)dx\)。

减法法则：

若\(y = u(x)-v(x)\)，则\(y^\prime=(u(x)-v(x))^\prime = u^\prime(x)-v^\prime(x)\)，所以\(dy=(u^\prime(x)-v^\prime(x))dx = du - dv\)。

例如，若\(y = x^{3}-\ln x\)，\(u(x)=x^{3}\)，\(v(x)=\ln x\)，\(du = 3x^{2}dx\)，\(dv=\frac{1}{x}dx\)，则\(dy=(3x^{2}-\frac{1}{x})dx\)。

乘法法则：

若\(y = u(x)v(x)\)，则\(y^\prime=(u(x)v(x))^\prime = u^\prime(x)v(x)+u(x)v^\prime(x)\)，所以\(dy=(u^\prime(x)v(x)+u(x)v^\prime(x))dx = v(x)du + u(x)dv\)。

例如，若\(y=(x + 1)\sin x\)，\(u(x)=x + 1\)，\(v(x)=\sin x\)，\(du = dx\)，\(dv=\cos xdx\)，则\(dy=(x + 1)\cos xdx+\sin xdx\)。

除法法则：

若\(y=\frac{u(x)}{v(x)}\)（\(v(x)\neq0\)），则\(y^\prime=\left(\frac{u(x)}{v(x)}\right)^\prime=\frac{u^\prime(x)v(x)-u(x)v^\prime(x)}{v^{2}(x)}\)，所以\(dy=\frac{v(x)du - u(x)dv}{v^{2}(x)}\)。

例如，若\(y=\frac{x^{2}}{x + 1}\)，\(u(x)=x^{2}\)，\(v(x)=x + 1\)，\(du = 2xdx\)，\(dv = dx\)，则\(dy=\frac{(x + 1)\times2xdx - x^{2}dx}{(x + 1)^{2}}=\frac{(2x^{2}+2x - x^{2})dx}{(x + 1)^{2}}=\frac{(x^{2}+2x)dx}{(x + 1)^{2}}\)。

3. 复合函数的微分法则（一阶微分形式不变性）

设\(y = f(u)\)，\(u = g(x)\)，则\(y = f(g(x))\)。根据复合函数求导法则\(y^\prime=f^\prime(g(x))\cdot g^\prime(x)\)，所以\(dy = f^\prime(g(x))\cdot g^\prime(x)dx\)。又因为\(du = g^\prime(x)dx\)，所以\(dy = f^\prime(u)du\)。

例如，若\(y=\sin(x^{2})\)，令\(u = x^{2}\)，则\(y=\sin u\)，\(y^\prime=\cos u\cdot2x\)，\(dy=\cos(x^{2})\cdot2xdx\)。也可以先对\(y=\sin u\)求微分\(dy=\cos udu\)，再把\(u = x^{2}\)，\(du = 2xdx\)代入，同样得到\(dy=\cos(x^{2})\cdot2xdx\)。

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