考研数学：原函数与不定积分的概念
1. 原函数的概念
设函数\(f(x)\)在区间\(I\)上有定义，如果存在函数\(F(x)\)，使得对于区间\(I\)上的任意一点\(x\)，都有\(F^{\prime}(x)=f(x)\)，那么称函数\(F(x)\)是函数\(f(x)\)在区间\(I\)上的一个原函数。
举例说明：
对于函数\(f(x) = 2x\)，考虑函数\(F(x)=x^{2}\)，对\(F(x)\)求导，根据求导公式\((x^{n})^{\prime}=nx^{n - 1}\)，可得\(F^{\prime}(x)=(x^{2})^{\prime}=2x=f(x)\)，所以\(F(x)=x^{2}\)是\(f(x)=2x\)的一个原函数。
实际上，\(x^{2}+1\)、\(x^{2}-2\)等函数也是\(f(x)=2x\)的原函数。因为\((x^{2}+1)^{\prime}=2x\)，\((x^{2}-2)^{\prime}=2x\)。一般地，\(x^{2}+C\)（\(C\)为任意常数）都是\(f(x)=2x\)的原函数。
原函数存在定理：连续函数一定有原函数
如果函数\(f(x)\)在区间\(I\)上连续，那么在区间\(I\)上一定存在可导函数\(F(x)\)，使得\(F^{\prime}(x)=f(x)\)，即连续函数一定有原函数。
需要注意的是，函数不连续时也可能有原函数，但不是必然有原函数。
2. 不定积分的概念
函数\(f(x)\)在区间\(I\)上的全体原函数称为\(f(x)\)在区间\(I\)上的不定积分，记作\(\int f(x)dx\)。
如果\(F(x)\)是\(f(x)\)的一个原函数，那么\(\int f(x)dx=F(x)+C\)，其中\(C\)为任意常数，称为积分常数。
举例说明：
对于上述的\(f(x)=2x\)，因为\(x^{2}\)是它的一个原函数，所以\(\int 2xdx=x^{2}+C\)。
再如\(f(x)=\cos x\)，因为\((\sin x)^{\prime}=\cos x\)，所以\(\int \cos xdx=\sin x + C\)。
不定积分的几何意义：
\(\int f(x)dx=F(x)+C\)表示一族函数（曲线），这族曲线中的任意两条曲线在横坐标相同的点处的切线斜率相同，都等于\(f(x)\)。例如，\(y=\int 2xdx=x^{2}+C\)表示一族抛物线，它们的形状相同，只是在\(y\)轴方向上的位置不同，并且在任意一点\(x\)处的切线斜率都是\(2x\)。
3. 原函数与不定积分的关系
不定积分是原函数的全体，一个原函数只是不定积分所表示的函数族中的一个成员。
求不定积分就是求所有的原函数，找到一个原函数后，再加上任意常数\(C\)就得到了不定积分。
例如，已知\(F(x)=x^{2}\)是\(f(x)=2x\)的一个原函数，那么\(\int 2xdx\)包含了所有形如\(x^{2}+C\)的函数，其中\(C\)可以取任意实数。
