1. 反双曲正切函数的定义

反双曲正切函数是双曲正切函数\(y = \tanh(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}\)的反函数，记为\(x=\text{artanh}(y)\)。

通过解方程\(y = \frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}\)来求其表达式。令\(e^{x}=t\)（\(t>0\)），则\(y=\frac{t - \frac{1}{t}}{t+\frac{1}{t}}=\frac{t^{2}-1}{t^{2}+1}\)。

整理得\(t^{2}=\frac{1 + y}{1 - y}\)，所以\(t=\sqrt{\frac{1 + y}{1 - y}}\)（因为\(t>0\)），则\(x = \ln\sqrt{\frac{1 + y}{1 - y}}=\frac{1}{2}\ln\frac{1 + y}{1 - y}\)，其定义域为\((-1,1)\)。

2. 反双曲正切函数的性质

单调性：在定义域\((-1,1)\)内单调递增。因为双曲正切函数\(y = \tanh(x)\)在\((-\infty,+\infty)\)上单调递增，根据反函数的性质，反双曲正切函数在其定义域上也单调递增。

值域：反双曲正切函数的值域是\((-\infty,+\infty)\)。这是因为双曲正切函数的值域是\((-1,1)\)，所以其反函数的定义域是\((-1,1)\)，值域是\((-\infty,+\infty)\)。

奇偶性：反双曲正切函数是奇函数，即\(\text{artanh}(-y)=-\text{artanh}(y)\)。证明如下：

\(\text{artanh}(-y)=\frac{1}{2}\ln\frac{1 - y}{1 + y}=-\frac{1}{2}\ln\frac{1 + y}{1 - y}=-\text{artanh}(y)\)。

3. 反双曲正切函数的导数

根据反函数求导法则，对于\(y = \tanh(x)\)，\(y^\prime=\frac{1}{\cosh^{2}(x)}\)，所以\((\text{artanh}(y))^\prime=\frac{1}{(\frac{1}{\cosh^{2}(\text{artanh}(y))})}=\cosh^{2}(\text{artanh}(y))\)。

又因为\(1 - \tanh^{2}(x)=\frac{1}{\cosh^{2}(x)}\)，对于\(x = \text{artanh}(y)\)，\(\cosh^{2}(\text{artanh}(y))=\frac{1}{1 - y^{2}}\)，所以\((\text{artanh}(y))^\prime=\frac{1}{1 - y^{2}}\)，\(y\in(-1,1)\)。

例1：求导运算

已知函数\(y = \text{artanh}(x^{2})\)，求\(y^\prime\)。

令\(u = x^{2}\)，则\(y=\text{artanh}(u)\)。

先对\(y = \text{artanh}(u)\)求导，根据\((\text{artanh}(u))^\prime=\frac{1}{1 - u^{2}}\)。

再对\(u = x^{2}\)求导，\(u^\prime = 2x\)。

由复合函数求导公式\(y^\prime = y^\prime_{u}\cdot u^\prime_{x}\)，可得\(y^\prime=\frac{2x}{1 - (x^{2})^{2}}=\frac{2x}{1 - x^{4}}\)，\(x^{2}\in(-1,1)\)，即\(x\in(-1,1)\)。

例2：积分计算

计算\(\int\frac{1}{1 - x^{2}}dx\)（\(|x|<1\)）。

因为\(\int\frac{1}{1 - x^{2}}dx=\text{artanh}(x)+C\)。

例如，计算定积分\(\int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{1}{1 - x^{2}}dx\)，根据牛顿 - 莱布尼茨公式，结果为\([\text{artanh}(x)]_{0}^{\frac{1}{2}}=\text{artanh}(\frac{1}{2})-\text{artanh}(0)\)。

又因为\(\text{artanh}(0)=\frac{1}{2}\ln\frac{1 + 0}{1 - 0}=0\)，\(\text{artanh}(\frac{1}{2})=\frac{1}{2}\ln\frac{1+\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\ln3\)，所以定积分的值为\(\frac{1}{2}\ln3\)。

例3：解方程

求解方程\(\text{artanh}(x)=1\)。

由\(\text{artanh}(x)=\frac{1}{2}\ln\frac{1 + x}{1 - x}\)，则\(\frac{1}{2}\ln\frac{1 + x}{1 - x}=1\)。

两边同时乘以\(2\)得\(\ln\frac{1 + x}{1 - x}=2\)。

两边同时取指数得\(\frac{1 + x}{1 - x}=e^{2}\)。

交叉相乘得\(1 + x=e^{2}(1 - x)\)。

展开得\(1 + x=e^{2}-e^{2}x\)。

移项得\((1 + e^{2})x=e^{2}-1\)，解得\(x=\frac{e^{2}-1}{e^{2}+1}\)。

例4：证明等式（反函数性质）

证明\(\tanh(\text{artanh}(x))=x\)，\(x\in(-1,1)\)。

设\(y = \text{artanh}(x)\)，则\(x=\tanh(y)=\frac{e^{y}-e^{-y}}{e^{y}+e^{-y}}\)。

又因为\(y=\frac{1}{2}\ln\frac{1 + x}{1 - x}\)，代入\(\tanh(y)\)的表达式进行化简，最终可以得到\(\tanh(\text{artanh}(x))=x\)。

例5：在统计学中的应用（简化示例）

在逻辑回归模型中，假设概率\(p\)与变量\(x\)之间的关系可以用\(p=\frac{e^{z}}{1 + e^{z}}\)来表示，其中\(z = a + bx\)（\(a,b\)为常数）。

我们可以通过令\(y=\frac{p}{1 - p}\)，则\(z = \ln y\)，进一步变形为\(x=\frac{1}{b}(\text{artanh}(p)-a)\)。

例如，当\(p = 0.6\)，\(a = 1\)，\(b = 2\)时，\(x=\frac{1}{2}(\text{artanh}(0.6)-1)\)，通过计算\(\text{artanh}(0.6)=\frac{1}{2}\ln\frac{1 + 0.6}{1 - 0.6}=\frac{1}{2}\ln4\)，进而求出\(x\)的值，这样可以用于分析变量\(x\)与概率\(p\)之间的关系。

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