考研数学：欧拉方程
1. 欧拉方程的定义和形式
欧拉方程是一类特殊的变系数线性微分方程，其形式为\(x^{n}y^{(n)} + a_{1}x^{n - 1}y^{(n - 1)}+\cdots + a_{n - 1}xy'+a_{n}y = f(x)\)，其中\(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\)是常数，\(y^{(k)}\)表示\(y\)的\(k\)阶导数。例如，\(x^{2}y'' + 3xy' + y = 0\)就是一个二阶欧拉方程。
2. 欧拉方程的求解方法
变量代换法：令\(x = e^{t}\)（或\(t=\ln x\)），然后通过复合函数求导法则来转换方程。
对于\(y\)关于\(x\)的一阶导数\(y'\)，根据复合函数求导法则\(y'=\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\cdot\frac{dt}{dx}=\frac{1}{x}\frac{dy}{dt}\)，即\(xy'=\frac{dy}{dt}\)，记为\(Dy\)（其中\(D\)表示对\(t\)求导）。
对于二阶导数\(y''\)，\(y''=\frac{d}{dx}(\frac{1}{x}\frac{dy}{dt})=\frac{1}{x^{2}}(\frac{d^{2}y}{dt^{2}} - \frac{dy}{dt})\)，即\(x^{2}y''=\frac{d^{2}y}{dt^{2}} - \frac{dy}{dt}=D(D - 1)y\)。
一般地，对于\(n\)阶导数\(y^{(n)}\)，有\(x^{n}y^{(n)}=D(D - 1)\cdots(D - n + 1)y\)。
将原方程化为常系数线性微分方程：把上述关于导数的变换代入欧拉方程，就可以将其化为以\(t\)为自变量的常系数线性微分方程。例如，对于方程\(x^{2}y'' + 3xy' + y = 0\)，令\(x = e^{t}\)，则\(xy'=\frac{dy}{dt}\)，\(x^{2}y''=\frac{d^{2}y}{dt^{2}} - \frac{dy}{dt}\)，原方程变为\((D(D - 1) + 3D + 1)y = 0\)，即\((D^{2}+2D + 1)y = 0\)，这是一个二阶常系数齐次线性微分方程。
求解常系数线性微分方程：按照常系数线性微分方程的求解方法进行求解。对于上面的例子\((D^{2}+2D + 1)y = 0\)，其特征方程为\(r^{2}+2r + 1 = 0\)，解得\(r=-1\)（二重根），通解为\(y=(C_{1}+C_{2}t)e^{-t}\)。
回代变量：最后将\(t=\ln x\)回代，得到原方程的解。对于上述例子，原方程的通解为\(y=(C_{1}+C_{2}\ln x)\frac{1}{x}\)。
3. 欧拉方程的应用场景和意义
应用场景：在数学物理问题中，特别是涉及到柱坐标或球坐标下的偏微分方程求解时，经过分离变量等操作后，常常会出现欧拉方程的形式。例如，在研究某些轴对称的热传导问题或流体力学问题中，当在柱坐标下进行分析时，径向方向的方程可能会是欧拉方程。
意义：欧拉方程提供了一种将变系数微分方程转化为常系数微分方程的有效方法，使得我们可以利用熟悉的常系数线性微分方程的求解技术来解决问题。这体现了数学中通过变量代换等方法将复杂问题转化为简单问题的思想。
