1. 参数方程的一般形式及导数公式推导

一般地，若参数方程为\(\begin{cases}x = \varphi(t)\\y=\psi(t)\end{cases}\)，其中\(t\)是参数。

对于函数\(y = y(x)\)，我们要求\(\frac{dy}{dx}\)。根据复合函数求导法则和反函数求导法则来推导其导数公式。

假设\(x=\varphi(t)\)的反函数为\(t = \varphi^{-1}(x)\)，那么\(y=\psi(\varphi^{-1}(x))\)。

根据复合函数求导法则\(\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\cdot\frac{dt}{dx}\)，又因为\(\frac{dx}{dt}=\varphi^\prime(t)\)，其反函数导数\(\frac{dt}{dx}=\frac{1}{\varphi^\prime(t)}\)（当\(\varphi^\prime(t)\neq0\)），所以\(\frac{dy}{dx}=\frac{\psi^\prime(t)}{\varphi^\prime(t)}\)。

2. 一阶导数的计算示例

例1：设参数方程为\(\begin{cases}x = t^{2}+1\\y = 2t - 1\end{cases}\)，求\(\frac{dy}{dx}\)。

首先求\(\frac{dx}{dt}=2t\)，\(\frac{dy}{dt}=2\)。

根据公式\(\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}\)，可得\(\frac{dy}{dx}=\frac{2}{2t}=\frac{1}{t}\)（\(t\neq0\)）。

例2：已知参数方程\(\begin{cases}x = \cos t\\y=\sin 2t\end{cases}\)，求\(\frac{dy}{dx}\)。

先求\(\frac{dx}{dt}=-\sin t\)，\(\frac{dy}{dt}=2\cos 2t\)。

由公式得\(\frac{dy}{dx}=\frac{2\cos 2t}{-\sin t}\)，再利用二倍角公式\(\cos 2t = 1 - 2\sin^{2}t\)进行化简，\(\frac{dy}{dx}=\frac{2(1 - 2\sin^{2}t)}{-\sin t}=- 2(\csc t - 2\sin t)\)。

3. 二阶导数的计算

二阶导数\(\frac{d^{2}y}{dx^{2}}\)是一阶导数\(\frac{dy}{dx}\)对\(x\)的导数。

先求出\(\frac{dy}{dx}=\frac{\psi^\prime(t)}{\varphi^\prime(t)}\)，把它看作是关于\(t\)的函数，然后再对\(x\)求导。

根据复合函数求导法则\(\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{d}{dt}\left(\frac{\psi^\prime(t)}{\varphi^\prime(t)}\right)\cdot\frac{dt}{dx}\)，又因为\(\frac{dt}{dx}=\frac{1}{\varphi^\prime(t)}\)，所以\(\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{\frac{\varphi^\prime(t)\psi^{\prime\prime}(t)-\psi^\prime(t)\varphi^{\prime\prime}(t)}{(\varphi^\prime(t))^{2}}}{\varphi^\prime(t)}=\frac{\varphi^\prime(t)\psi^{\prime\prime}(t)-\psi^\prime(t)\varphi^{\prime\prime}(t)}{(\varphi^\prime(t))^{3}}\)。

例3：对于参数方程\(\begin{cases}x = t^{2}\\y = t^{3}\end{cases}\)，求\(\frac{d^{2}y}{dx^{2}}\)。

首先求\(\frac{dx}{dt}=2t\)，\(\frac{dy}{dt}=3t^{2}\)，则\(\frac{dy}{dx}=\frac{3t^{2}}{2t}=\frac{3t}{2}\)。

接着求\(\frac{d^{2}y}{dx^{2}}\)，\(\frac{d}{dt}\left(\frac{3t}{2}\right)=\frac{3}{2}\)，\(\frac{dx}{dt}=2t\)，所以\(\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{\frac{3}{2}}{2t}=\frac{3}{4t}\)（\(t\neq0\)）。

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