1. 数列极限的定义

设\(\{a_{n}\}\)为一数列，\(a\)为一常数。如果对于任意给定的正数\(\varepsilon\)（不论它多么小），总存在正整数\(N\)，使得当\(n > N\)时，不等式\(\vert a_{n}-a\vert<\varepsilon\)都成立，那么就称常数\(a\)是数列\(\{a_{n}\}\)的极限，记作\(\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=a\)。

例1：常数列的极限

设数列\(a_{n}=3\)（\(n = 1,2,\cdots\)），要证明\(\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=3\)。

对于任意给定的\(\varepsilon>0\)，取\(N = 1\)，当\(n > N\)时，\(\vert a_{n}-3\vert=\vert3 - 3\vert = 0<\varepsilon\)，所以\(\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=3\)。

例2：\(a_{n}=\frac{1}{n}\)的极限

证明\(\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}=0\)。

对于任意给定的\(\varepsilon>0\)，要使\(\vert\frac{1}{n}-0\vert=\frac{1}{n}<\varepsilon\)，只要\(n>\frac{1}{\varepsilon}\)。取\(N=[\frac{1}{\varepsilon}]+1\)（\([x]\)表示不超过\(x\)的最大整数），当\(n > N\)时，\(\vert\frac{1}{n}-0\vert<\varepsilon\)，所以\(\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}=0\)。

例3：\(a_{n}=\frac{n + 1}{n}\)的极限

证明\(\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n + 1}{n}=1\)。

首先化简\(a_{n}=\frac{n + 1}{n}=1+\frac{1}{n}\)，对于任意给定的\(\varepsilon>0\)，要使\(\vert a_{n}-1\vert=\vert(1+\frac{1}{n})-1\vert=\frac{1}{n}<\varepsilon\)，只要\(n>\frac{1}{\varepsilon}\)。取\(N = [\frac{1}{\varepsilon}]+1\)，当\(n > N\)时，\(\vert a_{n}-1\vert<\varepsilon\)，所以\(\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n + 1}{n}=1\)。

例4：\(a_{n}=\frac{2n - 1}{3n}\)的极限

化简\(a_{n}=\frac{2n - 1}{3n}=\frac{2}{3}-\frac{1}{3n}\)，证明\(\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\frac{2}{3}\)。

对于任意给定的\(\varepsilon>0\)，要使\(\vert a_{n}-\frac{2}{3}\vert=\vert(\frac{2}{3}-\frac{1}{3n})-\frac{2}{3}\vert=\frac{1}{3n}<\varepsilon\)，只要\(n>\frac{1}{3\varepsilon}\)。取\(N=[\frac{1}{3\varepsilon}]+1\)，当\(n > N\)时，\(\vert a_{n}-\frac{2}{3}\vert<\varepsilon\)，所以\(\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\frac{2}{3}\)。

例5：\(a_{n}=\frac{1}{n^{2}}\)的极限

证明\(\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n^{2}}=0\)。

对于任意给定的\(\varepsilon>0\)，要使\(\vert\frac{1}{n^{2}}-0\vert=\frac{1}{n^{2}}<\varepsilon\)，只要\(n>\frac{1}{\sqrt{\varepsilon}}\)。取\(N = [\frac{1}{\sqrt{\varepsilon}}]+1\)，当\(n > N\)时，\(\vert\frac{1}{n^{2}}-0\vert<\varepsilon\)，所以\(\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n^{2}}=0\)。

例6：\(a_{n}=1 + (-1)^{n}\frac{1}{n}\)的极限

证明\(\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=1\)。

对于任意给定的\(\varepsilon>0\)，要使\(\vert a_{n}-1\vert=\vert1 + (-1)^{n}\frac{1}{n}-1\vert=\vert(-1)^{n}\frac{1}{n}\vert=\frac{1}{n}<\varepsilon\)，只要\(n>\frac{1}{\varepsilon}\)。取\(N = [\frac{1}{\varepsilon}]+1\)，当\(n > N\)时，\(\vert a_{n}-1\vert<\varepsilon\)，所以\(\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=1\)。

例7：\(a_{n}=\sqrt{\frac{n + 1}{n}}\)的极限

化简\(a_{n}=\sqrt{1+\frac{1}{n}}\)，证明\(\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=1\)。

对于任意给定的\(\varepsilon>0\)，要使\(\vert a_{n}-1\vert=\vert\sqrt{1+\frac{1}{n}}-1\vert<\varepsilon\)，对\(\vert\sqrt{1+\frac{1}{n}}-1\vert\)进行分子有理化得\(\vert\sqrt{1+\frac{1}{n}}-1\vert=\frac{\frac{1}{n}}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1}\)，只要\(n>\frac{1}{\varepsilon(\sqrt{2}+1)}\)。取\(N = [\frac{1}{\varepsilon(\sqrt{2}+1)}]+1\)，当\(n > N\)时，\(\vert a_{n}-1\vert<\varepsilon\)，所以\(\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=1\)。

例8：\(a_{n}=\frac{3n^{2}+n - 1}{n^{2}+1}\)的极限

化简\(a_{n}=\frac{3n^{2}+n - 1}{n^{2}+1}=3+\frac{n - 4}{n^{2}+1}\)，证明\(\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=3\)。

对于任意给定的\(\varepsilon>0\)，要使\(\vert a_{n}-3\vert=\vert\frac{n - 4}{n^{2}+1}\vert\leqslant\frac{n + 4}{n^{2}+1}<\frac{n + 4n}{n^{2}}=\frac{5}{n}<\varepsilon\)，只要\(n>\frac{5}{\varepsilon}\)。取\(N = [\frac{5}{\varepsilon}]+1\)，当\(n > N\)时，\(\vert a_{n}-3\vert<\varepsilon\)，所以\(\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=3\)。

例9：\(a_{n}=\frac{\sin n}{n}\)的极限

证明\(\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sin n}{n}=0\)。

因为\(\vert\sin n\vert\leqslant1\)，所以对于任意给定的\(\varepsilon>0\)，要使\(\vert\frac{\sin n}{n}-0\vert=\frac{\vert\sin n\vert}{n}\leqslant\frac{1}{n}<\varepsilon\)，只要\(n>\frac{1}{\varepsilon}\)。取\(N = [\frac{1}{\varepsilon}]+1\)，当\(n > N\)时，\(\vert\frac{\sin n}{n}-0\vert<\varepsilon\)，所以\(\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sin n}{n}=0\)。

例10：\(a_{n}=\frac{1 + 2+\cdots + n}{n^{2}}\)的极限

首先计算\(1 + 2+\cdots + n=\frac{n(n + 1)}{2}\)，则\(a_{n}=\frac{\frac{n(n + 1)}{2}}{n^{2}}=\frac{n + 1}{2n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2n}\)。

证明\(\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\frac{1}{2}\)。对于任意给定的\(\varepsilon>0\)，要使\(\vert a_{n}-\frac{1}{2}\vert=\vert(\frac{1}{2}+\frac{1}{2n})-\frac{1}{2}\vert=\frac{1}{2n}<\varepsilon\)，只要\(n>\frac{1}{2\varepsilon}\)。取\(N = [\frac{1}{2\varepsilon}]+1\)，当\(n > N\)时，\(\vert a_{n}-\frac{1}{2}\vert<\varepsilon\)，所以\(\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\frac{1}{2}\)。

2. 直观理解

数列极限描述的是当数列的项数\(n\)无限增大时，数列的项\(a_{n}\)趋近于一个确定的值\(a\)的过程。比如数列\(\frac{1}{n}\)，当\(n\)越来越大（\(n = 1,2,3,\cdots\)），\(\frac{1}{n}\)的值就越来越接近\(0\)，可以说数列\(\left\{\frac{1}{n}\right\}\)的极限是\(0\)。

3. \(\varepsilon - N\)定义

设\(\{a_{n}\}\)为一数列，如果存在常数\(a\)，对于任意给定的正数\(\varepsilon\)（不论它多么小），总存在正整数\(N\)，使得当\(n > N\)时，不等式\(\vert a_{n}-a\vert<\varepsilon\)都成立，那么就称常数\(a\)是数列\(\{a_{n}\}\)的极限，记作\(\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=a\)。

这里的\(\varepsilon\)是用来衡量\(a_{n}\)与\(a\)接近程度的一个任意小的正数。例如，对于前面提到的数列\(a_{n}=\frac{1}{n}\)，要证明\(\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}=0\)。

给定\(\varepsilon>0\)，我们要找到一个\(N\)，使得当\(n > N\)时，\(\left|\frac{1}{n}-0\right|=\frac{1}{n}<\varepsilon\)成立。通过求解\(n>\frac{1}{\varepsilon}\)，所以我们可以取\(N=\left[\frac{1}{\varepsilon}\right]+1\)（\([x]\)表示不超过\(x\)的最大整数）。这样当\(n > N\)时，就有\(\left|\frac{1}{n}-0\right|<\varepsilon\)，从而按照定义证明了\(\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}=0\)。

4. 定义的几何意义

数列\(\{a_{n}\}\)以\(a\)为极限的几何解释是：对于任意给定的以\(a\)为中心，长度为\(2\varepsilon\)的开区间\((a - \varepsilon,a+\varepsilon)\)，在数列中总存在一项\(a_{N}\)，从该项以后的所有项\(a_{n}(n > N)\)都落在这个开区间内。例如，对于极限为\(0\)的数列\(\frac{1}{n}\)，给定\(\varepsilon = 0.1\)，可以找到一个\(N\)（比如\(N = 11\)），当\(n > 11\)时，\(\frac{1}{n}\)的值都在区间\((-0.1,0.1)\)内。

5. 否定形式（极限不存在的情况）

数列\(\{a_{n}\}\)不以\(a\)为极限的定义是：存在某个\(\varepsilon_{0}>0\)，对于任意的正整数\(N\)，总存在\(n_{0}>N\)，使得\(\vert a_{n_{0}}-a\vert\geqslant\varepsilon_{0}\)。例如，数列\(\{(-1)^{n}\}\)不存在极限。假设它的极限是\(a\)，取\(\varepsilon_{0}=1\)，对于任意的正整数\(N\)，当\(n_{0}=2N + 1\)时，\(\vert(-1)^{2N + 1}-a\vert=\vert - 1 - a\vert\geqslant1\)（当\(a\geqslant0\)）或者\(\vert(-1)^{2N + 1}-a\vert=\vert - 1 - a\vert=\vert1 + a\vert\geqslant1\)（当\(a<0\)），所以数列\(\{(-1)^{n}\}\)不存在极限。

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