考研数学：可分离变量的微分方程
1. 定义和形式
可分离变量的微分方程是一种一阶微分方程，它可以写成\(g(y)dy = f(x)dx\)的形式。其中\(g(y)\)是关于\(y\)的函数，\(f(x)\)是关于\(x\)的函数。这种方程的特点是，通过适当的变形，可以将\(y\)和\(x\)分别放在等式的两边，使得变量分离。例如，方程\(\frac{dy}{dx}= \frac{x}{y}\)是可分离变量的微分方程，将其变形为\(ydy = xdx\)。
2. 求解方法
分离变量：把方程化为\(g(y)dy = f(x)dx\)的形式。例如，对于方程\(\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}\)，可变形为\(\frac{dy}{y}=\frac{dx}{x}\)。
两边积分：对分离后的式子两边分别积分，得到\(\int g(y)dy=\int f(x)dx + C\)，其中\(C\)为积分常数。例如，对于前面变形后的方程\(\frac{dy}{y}=\frac{dx}{x}\)，两边积分得\(\int\frac{1}{y}dy=\int\frac{1}{x}dx + C\)，即\(\ln|y|=\ln|x|+C\)。
化简求解：对积分后的式子进行化简，求出\(y\)关于\(x\)的表达式。对于\(\ln|y|=\ln|x|+C\)，根据对数的性质可进一步化简为\(|y| = e^{\ln|x| + C}=e^C|x|\)，令\(k = e^C\)（\(k\neq0\)），则\(y = kx\)。又因为当\(k = 0\)时，\(y = 0\)也是原方程\(\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}\)的解，所以原方程的通解为\(y = kx\)（\(k\)为任意常数）。
3. 注意事项
在分离变量的过程中，要注意分母不能为零。例如，对于方程\(\frac{dy}{dx}=\frac{1}{y - 1}\)，当\(y = 1\)时，方程右边的表达式无意义。在求解过程中，需要单独考虑\(y = 1\)是否为方程的解。通过代入原方程可以发现，\(y = 1\)是原方程的一个特解，而在分离变量积分得到的通解中可能没有包含这个特解，所以最后要把这种可能遗漏的特解补上。
积分时要正确计算积分，并且对于积分结果要合理地进行化简和处理。例如，在对一些复杂函数积分时，可能需要使用换元法、分部积分法等积分技巧。同时，对于对数函数等，要注意绝对值的处理，如\(\int\frac{1}{x}dx=\ln|x|+C\)，不能遗漏绝对值符号，除非根据具体的定义域等情况可以确定\(x\)的正负。
