1. 牛顿 - 莱布尼茨公式（微积分基本定理）

如果函数\(F(x)\)是连续函数\(f(x)\)在区间\([a,b]\)上的一个原函数，那么\(\int_{a}^{b}f(x)dx = F(b)-F(a)\)

这个公式建立了定积分与原函数之间的联系，使得定积分的计算可以通过求原函数在区间端点的值的差来完成。

证明思路（简略）：

定积分\(\int_{a}^{b}f(x)dx\)的定义是和式极限\(\lim\limits_{\lambda\to0}\sum_{i = 1}^{n}f(\xi_{i})\Delta x_{i}\)。

根据拉格朗日中值定理，若函数\(F(x)\)是\(f(x)\)的原函数，则在区间\([x_{i - 1},x_{i}]\)上，存在\(\xi_{i}\)使得\(F(x_{i})-F(x_{i - 1})=f(\xi_{i})\Delta x_{i}\)。

对所有小区间求和并取极限后，就可以得到\(\int_{a}^{b}f(x)dx = F(b)-F(a)\)。

应用示例：计算\(\int_{1}^{2}x^{2}dx\)。

因为\(x^{2}\)的一个原函数是\(\frac{1}{3}x^{3}\)，根据牛顿 - 莱布尼茨公式，\(\int_{1}^{2}x^{2}dx=\frac{1}{3}x^{3}\big|_{1}^{2}=\frac{1}{3}\times2^{3}-\frac{1}{3}\times1^{3}=\frac{8}{3}-\frac{1}{3}=\frac{7}{3}\)。

2. 变上限积分函数及其导数

定义：设函数\(f(x)\)在区间\([a,b]\)上可积，则对于\(x\in[a,b]\)，函数\(\Phi(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt\)称为变上限积分函数。它表示积分上限\(x\)变化时，定积分的值也随之变化。

导数定理：如果函数\(f(x)\)在区间\([a,b]\)上连续，则变上限积分函数\(\Phi(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt\)在\([a,b]\)上可导，且\(\Phi^{\prime}(x)=f(x)\)。

例如，设\(\Phi(x)=\int_{1}^{x}t^{2}dt\)，根据此定理，\(\Phi^{\prime}(x)=x^{2}\)。

推广的导数公式：设\(F(x)=\int_{a}^{\varphi(x)}f(t)dt\)，其中\(f(x)\)连续，\(\varphi(x)\)可导，则\(F^{\prime}(x)=f(\varphi(x))\varphi^{\prime}(x)\)。

例如，若\(F(x)=\int_{0}^{x^{2}}\sin tdt\)，则\(F^{\prime}(x)=\sin(x^{2})\cdot2x\)。

3. 积分上限函数的应用

用于求极限：

例如求\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\int_{0}^{x}\sin t^{2}dt}{x^{3}}\)，这是\(\frac{0}{0}\)型的极限。

根据洛必达法则和变上限积分函数的导数，分子的导数为\(\sin x^{2}\)，所以\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\int_{0}^{x}\sin t^{2}dt}{x^{3}}=\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin x^{2}}{3x^{2}}=\frac{1}{3}\)（这里利用了等价无穷小\(\sin u\sim u\)，当\(u\to0\)时）。

用于求函数的单调性和极值：

设\(y = \int_{1}^{x}(t - 1)dt\)，先求其导数\(y^{\prime}=x - 1\)。令\(y^{\prime}=0\)，得\(x = 1\)。当\(x<1\)时，\(y^{\prime}<0\)，函数单调递减；当\(x>1\)时，\(y^{\prime}>0\)，函数单调递增。所以\(x = 1\)是函数的极小值点，极小值为\(y(1)=\int_{1}^{1}(t - 1)dt = 0\)。

4. 直角坐标系下求平面图形的面积

若平面图形由曲线\(y = f(x)\)，\(y = g(x)\)（\(f(x)\geq g(x)\)）与直线\(x = a\)，\(x = b\)所围成，则其面积\(A=\int_{a}^{b}[f(x)-g(x)]dx\)。

例如，求由\(y = x^{2}\)和\(y = x\)所围成的图形面积，先联立方程\(\left\{\begin{array}{l}y = x^{2}\\y = x\end{array}\right.\)，解得交点为\((0,0)\)和\((1,1)\)，这里\(f(x)=x\)，\(g(x)=x^{2}\)，\(a = 0\)，\(b = 1\)，则面积\(A=\int_{0}^{1}(x - x^{2})dx=\left[\frac{1}{2}x^{2}-\frac{1}{3}x^{3}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}\)。

若平面图形是由曲线\(x = \varphi(y)\)，\(x=\psi(y)\)（\(\varphi(y)\geq\psi(y)\)）与直线\(y = c\)，\(y = d\)所围成，则其面积\(A=\int_{c}^{d}[\varphi(y)-\psi(y)]dy\)。

5. 极坐标系下求平面图形的面积

由曲线\(r = r(\theta)\)及射线\(\theta=\alpha\)，\(\theta=\beta\)（\(\alpha<\beta\)）围成的曲边扇形的面积公式为\(A=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}r^{2}(\theta)d\theta\)。

例如，求心形线\(r = a(1+\cos\theta)\)（\(a>0\)）所围成的图形面积。

根据上述公式，面积\(A = \frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}a^{2}(1 + \cos\theta)^{2}d\theta\)，展开并积分可得\(A=\frac{3}{2}\pi a^{2}\)。

6. 旋转体的体积

由曲线\(y = f(x)\)，直线\(x = a\)，\(x = b\)（\(a < b\)）及\(x\)轴所围成的平面图形绕\(x\)轴旋转一周所得旋转体的体积\(V_{x}=\pi\int_{a}^{b}f^{2}(x)dx\)。

例如，曲线\(y=\sqrt{x}\)，\(x\in[0,4]\)绕\(x\)轴旋转一周，这里\(f(x)=\sqrt{x}\)，\(a = 0\)，\(b = 4\)，则体积\(V_{x}=\pi\int_{0}^{4}(\sqrt{x})^{2}dx=\pi\int_{0}^{4}xdx=8\pi\)。

由曲线\(y = f(x)\)，直线\(x = a\)，\(x = b\)（\(a < b\)）及\(x\)轴所围成的平面图形绕\(y\)轴旋转一周所得旋转体的体积\(V_{y}=2\pi\int_{a}^{b}xf(x)dx\)。

例如，对于\(y = x^{2}\)，\(x\in[0,2]\)绕\(y\)轴旋转一周，这里\(f(x)=x^{2}\)，\(a = 0\)，\(b = 2\)，则\(V_{y}=2\pi\int_{0}^{2}x\cdot x^{2}dx=8\pi\)。

7. 平行截面面积为已知的立体体积：

如果一个立体位于平面\(x = a\)与\(x = b\)之间，且过点\(x\)（\(a\leq x\leq b\)）且垂直于\(x\)轴的截面面积为\(A(x)\)，那么该立体的体积\(V=\int_{a}^{b}A(x)dx\)。

例如，一立体的底面是半径为\(R\)的圆，垂直于底面某一直径的截面都是等边三角形，设底面圆方程为\(x^{2}+y^{2}=R^{2}\)，截面面积\(A(x)=\sqrt{3}(R^{2}-x^{2})\)，则体积\(V=\int_{ - R}^{R}\sqrt{3}(R^{2}-x^{2})dx=\frac{4\sqrt{3}}{3}R^{3}\)。

8. 直角坐标系下求曲线的弧长

设曲线\(y = f(x)\)在区间\([a,b]\)上有一阶连续导数，则曲线弧长\(s=\int_{a}^{b}\sqrt{1 + f^{\prime 2}(x)}dx\)。

例如，对于曲线\(y=\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}\)，\(x\in[0,3]\)，\(y^{\prime}=x^{\frac{1}{2}}\)，则弧长\(s=\int_{0}^{3}\sqrt{1 + x}dx=\frac{2}{3}(4\sqrt{4}-1)=\frac{14}{3}\)。

9. 参数方程下求曲线的弧长

若曲线的参数方程为\(\left\{\begin{array}{l}x = x(t)\\y = y(t)\end{array}\right.\)（\(\alpha\leq t\leq\beta\)），且\(x^{\prime}(t)\)，\(y^{\prime}(t)\)连续，则弧长\(s=\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{x^{\prime 2}(t)+y^{\prime 2}(t)}dt\)。

例如，对于摆线\(\left\{\begin{array}{l}x = a(t - \sin t)\\y = a(1 - \cos t)\end{array}\right.\)（\(a>0\)，\(0\leq t\leq2\pi\)），\(x^{\prime}=a(1 - \cos t)\)，\(y^{\prime}=a\sin t\)，则弧长\(s=\int_{0}^{2\pi}\sqrt{a^{2}(1 - \cos t)^{2}+a^{2}\sin^{2}t}dt = 8a\)。

10. 极坐标系下求曲线的弧长

若曲线的极坐标方程为\(r = r(\theta)\)（\(\alpha\leq\theta\leq\beta\)），且\(r^{\prime}(\theta)\)存在且连续，则弧长\(s=\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{r^{2}(\theta)+r^{\prime 2}(\theta)}d\theta\)。

变力做功的计算：若物体在变力\(F(x)\)的作用下沿\(x\)轴从\(a\)移动到\(b\)，则力\(F(x)\)所做的功\(W=\int_{a}^{b}F(x)dx\)。

例如，一个弹簧在弹性限度内，拉力\(F(x)=kx\)（\(k\)为劲度系数），将弹簧从原长拉伸\(x_{0}\)长度，所做的功\(W=\int_{0}^{x_{0}}kxdx=\frac{1}{2}kx_{0}^{2}\)。

11. 液体压力的计算

由物理学可知，在液体中深度为\(h\)处的压强\(p=\rho gh\)（\(\rho\)为液体密度，\(g\)为重力加速度）。若平面薄板垂直放置在液体中，薄板的形状由曲线\(y = f(x)\)，直线\(x = a\)，\(x = b\)（\(a < b\)）及\(x\)轴所围成，那么薄板一侧所受液体压力\(F=\int_{a}^{b}\rho gxf(x)dx\)。

例如，一个垂直放置在水中的等腰三角形薄板，底边长为\(2a\)，高为\(h\)，顶点在水面，其方程为\(y=\frac{h}{a}x\)（\(x\in[0,a]\)），水的密度为\(\rho\)，重力加速度为\(g\)，则一侧所受液体压力\(F=\int_{0}^{a}\rho gx\cdot\frac{h}{a}xdx=\frac{1}{6}\rho gah^{2}\)。

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