考研数学：初等函数的连续性
1. 初等函数的定义
初等函数是由基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算所得到的函数。基本初等函数包括幂函数\(y = x^{\alpha}\)（\(\alpha\)为常数）、指数函数\(y = a^{x}\)（\(a>0\)且\(a\neq1\)）、对数函数\(y=\log_{a}x\)（\(a>0\)且\(a\neq1\)）、三角函数（如\(y = \sin x\)、\(y=\cos x\)等）和反三角函数（如\(y=\arcsin x\)、\(y = \arccos x\)等）。
例如，\(y=\sqrt{x^{2}+1}\)是初等函数，它是由幂函数\(y = u^{\frac{1}{2}}\)（这里\(u=x^{2}+1\)）复合而成；\(y = 3x^{2}+\log_{2}x - \sin x\)也是初等函数，它是由幂函数、对数函数、三角函数通过四则运算得到的。
2. 初等函数的连续性定理
一切初等函数在其定义区间内都是连续的。这里需要注意“定义区间”和“定义域”的区别。定义域可能包含孤立点，而定义区间是指定义域内的区间。
例如，函数\(y=\sqrt{x}\)的定义域是\([0,+\infty)\)，其定义区间也是\([0,+\infty)\)，它在这个区间内是连续的。再如，函数\(y=\frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}\)的定义域是\(x>1\)或\(x < - 1\)，其定义区间是\((-\infty,-1)\)和\((1,+\infty)\)，在这些定义区间内函数是连续的。
3. 利用初等函数连续性求极限
由于初等函数在其定义区间内连续，所以\(\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)=f(x_{0})\)，只要\(x_{0}\)在函数\(f(x)\)的定义区间内。
例如，求\(\lim_{x\rightarrow2}\frac{x^{3}-8}{x - 2}\)，我们可以先化简函数\(f(x)=\frac{x^{3}-8}{x - 2}=\frac{(x - 2)(x^{2}+2x + 4)}{x - 2}=x^{2}+2x + 4\)（\(x\neq2\)），\(f(x)\)是初等函数，其定义区间为\((-\infty,+\infty)\)，所以\(\lim_{x\rightarrow2}\frac{x^{3}-8}{x - 2}=\lim_{x\rightarrow2}(x^{2}+2x + 4)=2^{2}+2\times2 + 4 = 12\)。
又如，求\(\lim_{x\rightarrow0}\ln(\cos x + 1)\)，因为\(y=\ln(\cos x + 1)\)是初等函数，且\(x = 0\)在其定义区间内，所以\(\lim_{x\rightarrow0}\ln(\cos x + 1)=\ln(\cos0 + 1)=\ln2\)。
