1. 曲率中心的定义

曲率中心是指在曲线上某一点处，其曲率圆的圆心。

对于给定的曲线，在每一点都可以确定一个曲率中心。

曲率中心的位置与曲线在该点的弯曲程度（由曲率衡量）以及曲线的切线方向密切相关。

曲率中心的计算公式

设曲线\(y = f(x)\)具有二阶导数，在点\((x,y)\)处的曲率为\(k\)，切线斜率为\(y^\prime\)，则

曲率中心\((x_c,y_c)\)的计算公式为 ：

\(x_c=x-\frac{y^\prime(1 + y^{\prime 2})}{y^{\prime\prime}}\)

\(y_c=y+\frac{1 + y^{\prime 2}}{y^{\prime\prime}}\)

例1：求抛物线\(y = x^{2}\)在点\((1,1)\)处的曲率中心

首先，对\(y = x^{2}\)求导，可得\(y^\prime = 2x\)，再求二阶导数\(y^{\prime\prime}=2\) 。

将\(x = 1\)代入\(y^\prime\)和\(y^{\prime\prime}\)，得到\(y^\prime|_{x = 1}=2\)，\(y^{\prime\prime}|_{x = 1}=2\) 。

根据曲率中心公式\(x_{c}=x-\frac{y^\prime(1 + y^{\prime 2})}{y^{\prime\prime}}\)，\(y_{c}=y+\frac{1 + y^{\prime 2}}{y^{\prime\prime}}\)，可得：

\(x_{c}=1-\frac{2\times(1 + 2^{2})}{2}=-4\)

\(y_{c}=1+\frac{1 + 2^{2}}{2}=\frac{7}{2}\)

所以，抛物线\(y = x^{2}\)在点\((1,1)\)处的曲率中心为\((-4,\frac{7}{2})\) 。

例2：求椭圆\(\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1\)在点\((\sqrt{2},\frac{\sqrt{2}}{2})\)处的曲率中心

先对椭圆方程\(\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1\)两边同时对\(x\)求导：

\(\frac{2x}{4}+2yy^\prime = 0\)，化简得\(y^\prime=-\frac{x}{4y}\)。

再对\(y^\prime\)求导：

\[\begin{align*}y^{\prime\prime}&=-\frac{4y - x\times4y^\prime}{(4y)^{2}}\\&=-\frac{4y - x\times(-\frac{x}{y})}{16y^{2}}\\&=-\frac{4y^{2}+x^{2}}{16y^{3}}\end{align*}\]

将点\((\sqrt{2},\frac{\sqrt{2}}{2})\)代入\(y^\prime\)和\(y^{\prime\prime}\)：

\(y^\prime|_{x=\sqrt{2},y=\frac{\sqrt{2}}{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{4\times\frac{\sqrt{2}}{2}}=-\frac{1}{2}\)

\[\begin{align*}y^{\prime\prime}|_{x=\sqrt{2},y=\frac{\sqrt{2}}{2}}&=-\frac{4\times(\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}+(\sqrt{2})^{2}}{16\times(\frac{\sqrt{2}}{2})^{3}}\\&=-\frac{2 + 2}{16\times\frac{\sqrt{2}}{4}}\\&=-\frac{4}{4\sqrt{2}}\\&=-\frac{\sqrt{2}}{2}\end{align*}\]

最后代入曲率中心公式可得：

\[\begin{align*}x_{c}&=\sqrt{2}-\frac{(-\frac{1}{2})\times(1 + (-\frac{1}{2})^{2})}{-\frac{\sqrt{2}}{2}}\\&=\sqrt{2}-\frac{(-\frac{1}{2})\times\frac{5}{4}}{-\frac{\sqrt{2}}{2}}\\&=\sqrt{2}-\frac{5}{4\sqrt{2}}\\&=\sqrt{2}-\frac{5\sqrt{2}}{8}\\&=\frac{3\sqrt{2}}{8}\end{align*}\]

\[\begin{align*}y_{c}&=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1 + (-\frac{1}{2})^{2}}{-\frac{\sqrt{2}}{2}}\\&=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\frac{5}{4}}{-\frac{\sqrt{2}}{2}}\\&=\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{5\sqrt{2}}{4}\\&=-\frac{3\sqrt{2}}{4}\end{align*}\]

所以，椭圆\(\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1\)在点\((\sqrt{2},\frac{\sqrt{2}}{2})\)处的曲率中心为\((\frac{3\sqrt{2}}{8},-\frac{3\sqrt{2}}{4})\) 。

例3：求曲线\(y = \sin x\)在点\((\frac{\pi}{2},1)\)处的曲率中心

对\(y = \sin x\)求导，得\(y^\prime = \cos x\)，再求二阶导数\(y^{\prime\prime}=-\sin x\) 。

将\(x = \frac{\pi}{2}\)代入\(y^\prime\)和\(y^{\prime\prime}\)，可得\(y^\prime|_{x=\frac{\pi}{2}}=0\)，\(y^{\prime\prime}|_{x=\frac{\pi}{2}}=-1\) 。

代入曲率中心公式：

\(x_{c}=\frac{\pi}{2}-\frac{0\times(1 + 0^{2})}{-1}=\frac{\pi}{2}\)

\(y_{c}=1+\frac{1 + 0^{2}}{-1}=0\)

所以，曲线\(y = \sin x\)在点\((\frac{\pi}{2},1)\)处的曲率中心为\((\frac{\pi}{2},0)\) 。

2. 曲率中心的物理意义（以物体运动轨迹为例）

当一个物体做曲线运动时，在轨迹上某一点的曲率中心可以理解为物体在该点做圆周运动的瞬时圆心。如果把物体在曲线运动中的一小段轨迹近似看作圆周运动，那么这个圆周的圆心就是曲率中心，这有助于分析物体在曲线运动中所受向心力等力学问题。

3. 曲率中心与曲率半径的联系

曲率中心和曲率半径紧密相关。已知曲线在某点的曲率半径\(\rho\)是该点曲率圆的半径，而曲率中心就是曲率圆的圆心。它们之间的关系为：若点\((x,y)\)是曲线上的一点，\((x_{c},y_{c})\)是该点对应的曲率中心，那么从点\((x,y)\)到\((x_{c},y_{c})\)的距离就是曲率半径\(\rho\)。

4. 在几何图形中的应用举例

对于圆，圆上任意一点的曲率中心就是圆心，曲率半径就是圆的半径。这是因为圆的弯曲程度处处相同，其曲率是一个常数，等于半径的倒数。

对于抛物线\(y = ax^{2}+bx + c\)，不同点的曲率中心位置不同。

例如，抛物线\(y=x^{2}\)，通过前面推导的公式可以求出不同点的曲率中心。

在点\((0,0)\)处，先求\(y^\prime = 2x\)，\(y^{\prime\prime}=2\)。

根据曲率中心公式\(x_{c}=x-\frac{y^\prime(1 + y^{\prime 2})}{y^{\prime\prime}}\)，\(y_{c}=y+\frac{1 + y^{\prime 2}}{y^{\prime\prime}}\)，代入\(x = 0\)，\(y = 0\)，\(y^\prime = 0\)，\(y^{\prime\prime}=2\)，可得\(x_{c}=0\)，\(y_{c}=\frac{1}{2}\)，即点\((0,0)\)处的曲率中心为\((0,\frac{1}{2})\)。

这表明抛物线在顶点处的曲率中心位于对称轴上，且在顶点上方\(\frac{1}{2}\)单位处。

5. 渐屈线与渐伸线

渐屈线：平面曲线\(C_1\)上每点的曲率中心的轨迹\(C_2\)称为曲线\(C_1\)的渐屈线，即渐屈线是曲线上各点曲率中心所形成的轨迹.

渐伸线：与一条曲线\(C\)的所有切线相交成直角的曲线\(\gamma\)，称为曲线\(C\)的渐伸线，也称为渐近线。同一条平面曲线（渐屈线），有无限条渐伸线，且任何两条渐伸线对应点的距离是常数.

例1：求曲线\(y = x^2\)在点\((1,1)\)处的曲率中心

首先，对\(y = x^2\)求导，\(y^\prime = 2x\)，将\(x = 1\)代入得\(y^\prime\big|_{x = 1}=2\)。

再求二阶导数\(y^{\prime\prime}=2\)。

根据曲率中心计算公式可得：

\(x_c=1-\frac{2\times(1 + 2^{2})}{2}=1 - 5=-4\)

\(y_c=1+\frac{1 + 2^{2}}{2}=1+\frac{5}{2}=\frac{7}{2}\)

所以，曲线\(y = x^2\)在点\((1,1)\)处的曲率中心为\((-4,\frac{7}{2})\)。

例2：已知曲线\(y=\sin x\)，求其渐屈线方程

先对\(y = \sin x\)求导，\(y^\prime=\cos x\)，再求二阶导数\(y^{\prime\prime}=-\sin x\)。

设曲线\(y=\sin x\)上一点为\((x,y)\)，该点处的曲率中心为\((x_c,y_c)\)，根据曲率中心计算公式可得：

\(x_c=x-\frac{\cos x(1 + \cos^{2}x)}{-\sin x}=x+\frac{\cos x(1 + \cos^{2}x)}{\sin x}\)

\(y_c=\sin x+\frac{1 + \cos^{2}x}{-\sin x}=\sin x-\frac{1 + \cos^{2}x}{\sin x}\)

所以渐屈线的参数方程为\(\begin{cases}x=x+\frac{\cos x(1 + \cos^{2}x)}{\sin x}\\y=\sin x-\frac{1 + \cos^{2}x}{\sin x}\end{cases}\)，这里的\(x\)为参数，若想消去参数\(x\)得到直角坐标方程，过程会比较复杂，一般情况下保留参数方程形式即可。

例3：已知圆的渐伸线的基圆半径为\(r\)，以基圆圆心为原点建立坐标系，求圆的渐伸线的参数方程

圆的渐伸线的参数方程为\(\begin{cases}x = r(\cos t + t\sin t)\\y = r(\sin t - t\cos t)\end{cases}\)，其中\(t\)为参数。

例如当\(r = 1\)时，渐伸线的参数方程为\(\begin{cases}x = \cos t + t\sin t\\y = \sin t - t\cos t\end{cases}\)，通过给定不同的\(t\)值，可以得到渐伸线上不同点的坐标，从而描绘出渐伸线的形状。

高等数学