1. 无穷大的定义

当\(x\to x_0\)时：设函数\(f(x)\)在\(x_0\)的某一去心邻域内有定义。如果对于任意给定的正数\(M\)（不论它多么大），总存在正数\(\delta\)，使得当\(0 < |x - x_0| < \delta\)时，有\(|f(x)| > M\)，那么就称函数\(f(x)\)当\(x\to x_0\)时为无穷大，记作\(\lim_{x \to x_0}f(x)=\infty\)。

例如，\(y = \frac{1}{(x - 1)^2}\)，当\(x\to1\)时，对于任意给定的\(M > 0\)，要使\(\frac{1}{(x - 1)^2}>M\)，只要\(|x - 1| < \frac{1}{\sqrt{M}}\)，取\(\delta=\frac{1}{\sqrt{M}}\)，当\(0 < |x - 1| < \delta\)时，\(\frac{1}{(x - 1)^2}>M\)，所以\(\lim_{x \to 1}\frac{1}{(x - 1)^2}=\infty\)。

当\(x\to\infty\)时：设函数\(f(x)\)当\(|x|\)大于某一正数时有定义。如果对于任意给定的正数\(M\)（不论它多么大），总存在正数\(X\)，使得当\(|x| > X\)时，有\(|f(x)| > M\)，那么就称函数\(f(x)\)当\(x\to\infty\)时为无穷大，记作\(\lim_{x \to \infty}f(x)=\infty\)。

例如，\(y = x^3\)，当\(x\to\infty\)时，对于任意给定的\(M > 0\)，要使\(x^3 > M\)，只要\(x > \sqrt[3]{M}\)，取\(X = \sqrt[3]{M}\)，当\(|x| > X\)时，\(x^3 > M\)，所以\(\lim_{x \to \infty}x^3=\infty\)。

2. 无穷大与无穷小的关系

若\(y = f(x)\)为无穷大，则\(\frac{1}{f(x)}\)为无穷小；反之，若\(y = f(x)\)为无穷小（\(f(x)\neq0\)），则\(\frac{1}{f(x)}\)为无穷大。

例如，当\(x\to0\)时，\(y=\frac{1}{x}\)是无穷大，那么\(x\)（此时\(x\neq0\)）就是无穷小；当\(x\to\infty\)时，\(y=\frac{1}{x}\)是无穷小，那么\(x\)就是无穷大。

3. 无穷大的性质

性质1：两个无穷大的乘积是无穷大

设\(\lim_{x \to x_0}f(x)=\infty\)，\(\lim_{x \to x_0}g(x)=\infty\)。对于任意给定的正数\(M\)，因为\(\lim_{x \to x_0}f(x)=\infty\)，存在\(\delta_1 > 0\)，当\(0 < |x - x_0| < \delta_1\)时，\(|f(x)| > \sqrt{M}\)；又因为\(\lim_{x \to x_0}g(x)=\infty\)，存在\(\delta_2 > 0\)，当\(0 < |x - x_0| < \delta_2\)时，\(|g(x)| > \sqrt{M}\)。

取\(\delta=\min\{\delta_1,\delta_2\}\)，当\(0 < |x - x_0| < \delta\)时，\(|f(x)g(x)| = |f(x)|\times|g(x)| > M\)，所以\(\lim_{x \to x_0}f(x)g(x)=\infty\)。例如，当\(x\to0\)时，\(y = \frac{1}{x^2}\)和\(y=\frac{1}{x^3}\)都是无穷大，它们的乘积\(\frac{1}{x^5}\)也是无穷大。

性质2：无穷大与有界函数的和是无穷大

设\(\lim_{x \to x_0}f(x)=\infty\)，函数\(g(x)\)在\(x_0\)的某去心邻域内有界，即存在正数\(M_1\)和\(\delta_1 > 0\)，当\(0 < |x - x_0| < \delta_1\)时，\(|g(x)| \leq M_1\)。

对于任意给定的正数\(M\)，因为\(\lim_{x \to x_0}f(x)=\infty\)，存在\(\delta_2 > 0\)，当\(0 < |x - x_0| < \delta_2\)时，\(|f(x)| > M + M_1\)。

取\(\delta=\min\{\delta_1,\delta_2\}\)，当\(0 < |x - x_0| < \delta\)时，\(|f(x)+g(x)| \geq |f(x)| - |g(x)| > M\)，所以\(\lim_{x \to x_0}(f(x)+g(x))=\infty\)。例如，当\(x\to0\)时，\(y = \frac{1}{x}\)是无穷大，\(y = \sin x\)是有界函数，\(\frac{1}{x}+\sin x\)是无穷大。

4. 高阶无穷大与低阶无穷大

设\(\lim_{x \to x_0}f(x)=\infty\)，\(\lim_{x \to x_0}g(x)=\infty\)。

如果\(\lim_{x \to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\infty\)，则称\(f(x)\)是\(g(x)\)当\(x\to x_0\)时的高阶无穷大；

如果\(\lim_{x \to x_0}\frac{f(x)}{g(x)} = 0\)，则称\(f(x)\)是\(g(x)\)当\(x\to x_0\)时的低阶无穷大；

如果\(\lim_{x \to x_0}\frac{f(x)}{g(x)} = C\neq0\)，则称\(f(x)\)与\(g(x)\)是当\(x\to x_0\)时的同阶无穷大。

例如，当\(x\to0\)时，\(y = \frac{1}{x^3}\)是\(y = \frac{1}{x^2}\)的高阶无穷大，因为\(\lim_{x \to 0}\frac{\frac{1}{x^3}}{\frac{1}{x^2}}=\lim_{x \to 0}\frac{1}{x}=\infty\)。

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