考研数学：定积分的计算方法
1. 牛顿 - 莱布尼茨公式（基本方法）
如果函数\(f(x)\)在区间\([a,b]\)上连续，且\(F(x)\)是\(f(x)\)的一个原函数，那么\(\int_{a}^{b}f(x)dx = F(b)-F(a)\)。这个公式建立了定积分与不定积分之间的联系，将定积分的计算转化为求被积函数的原函数在区间端点的值的差。
示例：计算\(\int_{1}^{2}x^{2}dx\)。
首先求\(x^{2}\)的一个原函数，根据不定积分公式\(\int x^{n}dx=\frac{1}{n + 1}x^{n+1}+C\)（\(n\neq - 1\)）
\(x^{2}\)的一个原函数为\(F(x)=\frac{1}{3}x^{3}\)。然后根据牛顿 - 莱布尼茨公式，
\(\int_{1}^{2}x^{2}dx = F(2)-F(1)=\frac{1}{3}\times2^{3}-\frac{1}{3}\times1^{3}=\frac{8}{3}-\frac{1}{3}=\frac{7}{3}\)。
2. 定积分的换元法
设函数\(f(x)\)在区间\([a,b]\)上连续，函数\(x = \varphi(t)\)满足条件：
\(\varphi(\alpha)=a\)
\(\varphi(\beta)=b\)
\(\varphi(t)\)在\([\alpha,\beta]\)（或\([\beta,\alpha]\)）上具有连续导数，且其值域\(R_{\varphi}\subseteq[a,b]\)
则\(\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{\alpha}^{\beta}f[\varphi(t)]\varphi^\prime(t)dt\)。
在换元的过程中，不仅要换被积表达式，还要换积分上下限。
示例：计算\(\int_{0}^{4}\frac{1}{1 + \sqrt{x}}dx\)。
令\(t=\sqrt{x}\)，则\(x = t^{2}\)，\(dx = 2tdt\)。
当\(x = 0\)时，\(t = 0\)；当\(x = 4\)时，\(t = 2\)。
原式变为\(\int_{0}^{2}\frac{2t}{1 + t}dt = 2\int_{0}^{2}\frac{t + 1 - 1}{1 + t}dt = 2\int_{0}^{2}(1-\frac{1}{1 + t})dt = 2\left[t-\ln(1 + t)\right]_{0}^{2}=2\left(2-\ln3\right)\)。
3. 定积分的分部积分法
\(\int_{a}^{b}u(x)v^\prime(x)dx=[u(x)v(x)]_{a}^{b}-\int_{a}^{b}u^\prime(x)v(x)dx\)
其中\([u(x)v(x)]_{a}^{b}=u(b)v(b)-u(a)v(a)\)。
它是由不定积分的分部积分法和牛顿 - 莱布尼茨公式推导而来的，适用于被积函数是两个函数乘积的情况。
示例：计算\(\int_{0}^{\pi}x\cos xdx\)。
设\(u = x\)，\(v^\prime=\cos x\)，则\(u^\prime = 1\)，\(v=\sin x\)。
根据分部积分公式可得
\(\int_{0}^{\pi}x\cos xdx=[x\sin x]_{0}^{\pi}-\int_{0}^{\pi}\sin xdx\)
\(=\pi\sin\pi - 0\times\sin0- [-\cos x]_{0}^{\pi}=0 - (-\cos\pi+\cos0)=-(-1 + 1)= - 2\)。
4. 利用函数的奇偶性计算定积分
若函数\(f(x)\)在区间\([-a,a]\)上是奇函数（即\(f(-x)=-f(x)\)），则\(\int_{-a}^{a}f(x)dx = 0\)；
若函数\(f(x)\)在区间\([-a,a]\)上是偶函数（即\(f(-x)=f(x)\)），则\(\int_{-a}^{a}f(x)dx = 2\int_{0}^{a}f(x)dx\)。
示例：计算\(\int_{-2}^{2}x^{3}dx\)
因为\(y = x^{3}\)是奇函数，所以\(\int_{-2}^{2}x^{3}dx = 0\)。
再如计算\(\int_{-1}^{1}x^{2}dx\)，因为\(y = x^{2}\)是偶函数，所以\(\int_{-1}^{1}x^{2}dx = 2\int_{0}^{1}x^{2}dx = 2\times\frac{1}{3}x^{3}\big|_{0}^{1}=\frac{2}{3}\)。
