1. 定义

空间直角坐标系是在空间中，过定点\(O\)（原点），作三条互相垂直的数轴，它们都以\(O\)为原点且一般具有相同的长度单位。这三条数轴分别称为\(x\)轴（横轴）、\(y\)轴（纵轴）、\(z\)轴（竖轴），统称为坐标轴。

例如，我们可以想象一个房间的墙角，地面上的两条互相垂直的边分别作为\(x\)轴和\(y\)轴，垂直于地面的墙棱作为\(z\)轴。这个墙角点就是原点\(O\)。

2. 右手定则

确定\(x\)、\(y\)、\(z\)轴的正方向遵循右手定则。伸出右手，让四指与大拇指垂直，四指先指向\(x\)轴的正方向，然后手指自然弯曲90度指向\(y\)轴正方向，此时大拇指所指的方向就是\(z\)轴的正方向。

3. 坐标表示

对于空间中的任意一点\(P\)，过点\(P\)分别作垂直于\(x\)轴、\(y\)轴、\(z\)轴的平面，它们与\(x\)轴、\(y\)轴、\(z\)轴分别交于\(A\)、\(B\)、\(C\)三点。设\(A\)、\(B\)、\(C\)三点在\(x\)轴、\(y\)轴、\(z\)轴上的坐标分别为\(x\)、\(y\)、\(z\)，那么点\(P\)的坐标就记为\((x,y,z)\)。

例如，在一个简单的空间直角坐标系中，点\(P(1,2,3)\)表示这个点在\(x\)轴上的坐标是\(1\)，在\(y\)轴上的坐标是\(2\)，在\(z\)轴上的坐标是\(3\)。

4. 空间向量的坐标表示

设\(\vec{i}\)、\(\vec{j}\)、\(\vec{k}\)分别是\(x\)轴、\(y\)轴、\(z\)轴正方向上的单位向量。对于空间向量\(\vec{a}\)，如果它在\(x\)轴、\(y\)轴、\(z\)轴上的投影分别为\(a_{x}\)、\(a_{y}\)、\(a_{z}\)，那么\(\vec{a}=a_{x}\vec{i}+a_{y}\vec{j}+a_{z}\vec{k}\)，向量\(\vec{a}\)的坐标表示为\((a_{x},a_{y},a_{z})\)。

例如，向量\(\vec{a}=2\vec{i}+3\vec{j}-4\vec{k}\)，其坐标表示为\((2,3,-4)\)。

5. 两点间的距离公式

设空间中有两点\(A(x_{1},y_{1},z_{1})\)和\(B(x_{2},y_{2},z_{2})\)，则两点间的距离\(\vert AB\vert=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}}\)。

例如，点\(A(1,1,1)\)和点\(B(2,3,4)\)，根据公式可得\(\vert AB\vert=\sqrt{(2 - 1)^{2}+(3 - 1)^{2}+(4 - 1)^{2}}=\sqrt{1 + 4+9}=\sqrt{14}\)。

6. 向量的模长公式（坐标形式）

对于向量\(\vec{a}=(a_{x},a_{y},a_{z})\)，其模长\(\vert\vec{a}\vert=\sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}}\)。例如，向量\(\vec{a}=(3,4,5)\)，则\(\vert\vec{a}\vert=\sqrt{3^{2}+4^{2}+5^{2}}=\sqrt{9 + 16+25}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}\)。

7. 向量的夹角公式（坐标形式）

设空间向量\(\vec{a}=(a_{x},a_{y},a_{z})\)，\(\vec{b}=(b_{x},b_{y},b_{z})\)，它们的夹角为\(\theta\)（\(0\leq\theta\leq\pi\)），则\(\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\vert\vec{a}\vert\vert\vec{b}\vert}=\frac{a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y}+a_{z}b_{z}}{\sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}}\sqrt{b_{x}^{2}+b_{y}^{2}+b_{z}^{2}}}\)。

例如，向量\(\vec{a}=(1,2,3)\)，\(\vec{b}=(3,2,1)\)，先计算\(\vec{a}\cdot\vec{b}=1\times3 + 2\times2+3\times1=3 + 4+3 = 10\)，\(\vert\vec{a}\vert=\sqrt{1^{2}+2^{2}+3^{2}}=\sqrt{14}\)，\(\vert\vec{b}\vert=\sqrt{3^{2}+2^{2}+1^{2}}=\sqrt{14}\)，则\(\cos\theta=\frac{10}{\sqrt{14}\times\sqrt{14}}=\frac{10}{14}=\frac{5}{7}\)。

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