考研数学：星形线
1. 星形线的概念
星形线的直角坐标方程是\(x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}}\)（\(a>0\)）。
它也可以用参数方程表示为\(x = a\cos^{3}t\)，\(y = a\sin^{3}t\)（\(0\leq t\leq2\pi\)）。
从几何角度看，星形线可以看作是一个半径为\(a\)的圆在\(x\)轴和\(y\)轴上滚动时，圆周上一点的轨迹。
2. 星形线的性质
对称性
关于\(x\)轴、\(y\)轴和原点对称。对于关于\(x\)轴对称，若点\((x,y)\)在星形线上，将\(y\)换成\(-y\)，则\(x^{\frac{2}{3}}+(-y)^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}}\)，即\(x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}}\)，方程不变，所以关于\(x\)轴对称；同理可证关于\(y\)轴和原点对称。
切线性质
可以通过参数方程求导来研究切线。对\(x = a\cos^{3}t\)求导得\(x^\prime=-3a\cos^{2}t\sin t\)，对\(y = a\sin^{3}t\)求导得\(y^\prime=3a\sin^{2}t\cos t\)。那么切线斜率\(k = \frac{y^\prime}{x^\prime}=-\frac{\sin t}{\cos t}\)（\(\cos t\neq0\)）。在\(t = 0\)，\(\pi\)，\(2\pi\)时，切线平行于\(y\)轴；在\(t=\frac{\pi}{2}\)，\(\frac{3\pi}{2}\)时，切线平行于\(x\)轴。
周长和面积
其周长为\(6a\)。计算过程涉及到曲线积分，利用弧长公式\(L=\int_{t_1}^{t_2}\sqrt{(x^\prime(t))^{2}+(y^\prime(t))^{2}}dt\)，将\(x^\prime=-3a\cos^{2}t\sin t\)，\(y^\prime=3a\sin^{2}t\cos t\)代入可得\(L = 4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{9a^{2}\cos^{4}t\sin^{2}t + 9a^{2}\sin^{4}t\cos^{2}t}dt = 6a\)。
所围成的面积为\(\frac{3\pi a^{2}}{8}\)。计算面积可以利用定积分\(S = 4\int_{0}^{a}y dx\)，将\(y = a\sin^{3}t\)，\(x = a\cos^{3}t\)，\(dx=-3a\cos^{2}t\sin tdt\)代入，经过计算可得\(\frac{3\pi a^{2}}{8}\)。
3. 举例
当\(a = 1\)时，参数方程为\(x=\cos^{3}t\)，\(y=\sin^{3}t\)。
当\(t = 0\)时，\(x = 1\)，\(y = 0\)。
当\(t=\frac{\pi}{4}\)时，\(x=\frac{\sqrt{2}}{4}\)，\(y=\frac{\sqrt{2}}{4}\)。
当\(t=\frac{\pi}{2}\)时，\(x = 0\)，\(y = 1\)。通过这些点可以大致描绘出星形线在第一象限的形状，再根据对称性可以得到完整的曲线形状。在第一象限，曲线从\((1,0)\)开始，先向\(y\)轴正方向弯曲，然后再向\(x\)轴正方向弯曲，形成一个类似星星的形状。
