考研数学：复合函数的连续性
1. 复合函数连续性定理
设函数\(y = f(u)\)在点\(u = u_{0}\)处连续，函数\(u = g(x)\)在点\(x = x_{0}\)处连续，且\(u_{0}=g(x_{0})\)，则复合函数\(y = f(g(x))\)在点\(x = x_{0}\)处连续。
用极限形式来表示就是：\(\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(g(x)) = f(\lim_{x\rightarrow x_{0}}g(x))=f(g(x_{0}))\)。
2. 证明过程
因为\(y = f(u)\)在\(u = u_{0}\)处连续，所以对于任意给定的\(\varepsilon>0\)，存在\(\eta>0\)，使得当\(\vert u - u_{0}\vert<\eta\)时，\(\vert f(u)-f(u_{0})\vert<\varepsilon\)。
又因为\(u = g(x)\)在\(x = x_{0}\)处连续，所以对于上述的\(\eta>0\)，存在\(\delta>0\)，使得当\(\vert x - x_{0}\vert<\delta\)时，\(\vert g(x)-g(x_{0})\vert=\vert g(x)-u_{0}\vert<\eta\)。
那么当\(\vert x - x_{0}\vert<\delta\)时，令\(u = g(x)\)，有\(\vert u - u_{0}\vert<\eta\)，从而\(\vert f(g(x))-f(g(x_{0}))\vert<\varepsilon\)，这就证明了复合函数\(y = f(g(x))\)在点\(x = x_{0}\)处连续。
3. 例子
设\(f(u)=\sqrt{u}\)，\(u = g(x)=x^{2}+1\)。
首先，\(f(u)=\sqrt{u}\)在其定义域\(u\geqslant0\)上是连续的，\(g(x)=x^{2}+1\)在\((-\infty,+\infty)\)上是连续的。
对于复合函数\(y = f(g(x))=\sqrt{x^{2}+1}\)，由于\(g(x)=x^{2}+1\geqslant1>0\)，根据复合函数连续性定理，\(y=\sqrt{x^{2}+1}\)在\((-\infty,+\infty)\)上是连续的。
4. 注意事项
当内层函数\(g(x)\)的极限值存在，但不等于\(g(x_{0})\)时，不能直接使用复合函数连续性定理。例如，设\(f(u)=\frac{1}{u - 1}\)，\(u = g(x)=x\)，当\(x\rightarrow1\)时，\(u = g(x)\rightarrow1\)，但\(f(u)\)在\(u = 1\)处不连续，此时需要单独分析极限情况，不能简单套用定理。
在多元函数中也有类似的复合函数连续性的概念和定理，不过其条件和证明会更加复杂，涉及到多元函数的极限、偏导数等知识。例如，对于二元复合函数\(z = f(u,v)\)，\(u = g(x,y)\)，\(v = h(x,y)\)，其连续性的判断需要考虑更多的变量和条件。
