考研数学：空间直线方程

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1. 空间直线的一般方程

空间直线可以看作是两个平面的交线。

设两个相交平面的方程为\(\pi_1:A_1x + B_1y + C_1z+D_1 = 0\)和\(\pi_2:A_2x + B_2y + C_2z+D_2 = 0\)，

那么联立方程组\(\left\{\begin{array}{l}A_1x + B_1y + C_1z+D_1 = 0\\A_2x + B_2y + C_2z+D_2 = 0\end{array}\right.\)就表示空间直线的一般方程。

例如，直线是平面\(x + y+z - 1 = 0\)和平面\(2x - y + 3z - 2 = 0\)的交线，那么直线方程为

\(\left\{\begin{array}{l}x + y+z - 1 = 0\\2x - y + 3z - 2 = 0\end{array}\right.\)

这种方程的优点是直接由平面方程组合得到，缺点是形式不直观，在研究直线的一些几何性质（如方向向量等）时不太方便。

2. 空间直线的对称式方程（点向式方程）

定义：如果直线\(L\)过点\(M_0(x_0,y_0,z_0)\)，且它的方向向量为\(\vec{s}=(m,n,p)\)（方向向量是与直线平行的非零向量），那么直线\(L\)的对称式方程为\(\frac{x - x_0}{m}=\frac{y - y_0}{n}=\frac{z - z_0}{p}\)。

例如，直线过点\((1,2,3)\)，方向向量为\((2,3,4)\)，则直线的对称式方程为\(\frac{x - 1}{2}=\frac{y - 2}{3}=\frac{z - 3}{4}\)。

注意，当\(m\)、\(n\)、\(p\)中有一个或两个为\(0\)时，例如\(m = 0\)，此时方程应理解为\(\left\{\begin{array}{l}x - x_0 = 0\\\frac{y - y_0}{n}=\frac{z - z_0}{p}\end{array}\right.\)。

3. 空间直线的参数方程

定义：在直线的对称式方程\(\frac{x - x_0}{m}=\frac{y - y_0}{n}=\frac{z - z_0}{p}=t\)（\(t\)为参数）的基础上，可得

直线的参数方程\(\left\{\begin{array}{l}x = x_0+mt\\y = y_0+nt\\z = z_0+pt\end{array}\right.\)

例如，对于直线\(\frac{x - 1}{2}=\frac{y - 2}{3}=\frac{z - 3}{4}\)，令\(\frac{x - 1}{2}=\frac{y - 2}{3}=\frac{z - 3}{4}=t\)，则参数方程为\(\left\{\begin{array}{l}x = 1+2t\\y = 2 + 3t\\z = 3+4t\end{array}\right.\)。

参数方程的优点是可以通过参数\(t\)很方便地描述直线上点的位置变化，在解决一些涉及直线运动、动点轨迹等问题时非常有用。

4. 应用示例

例1：已知直线的一般方程为\(\left\{\begin{array}{l}2x - y + z - 1 = 0\\x + y - z+2 = 0\end{array}\right.\)，求直线的对称式方程和参数方程。

先求直线的方向向量，设直线的方向向量为\(\vec{s}\)，两个平面的法向量分别为\(\vec{n}_1=(2,-1,1)\)，\(\vec{n}_2=(1,1,-1)\)，则\(\vec{s}=\vec{n}_1\times\vec{n}_2=\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\2&-1&1\\1&1&-1\end{array}\right|=(0,3,3)\)。

再求直线上一点，令\(z = 0\)，则\(\left\{\begin{array}{l}2x - y - 1 = 0\\x + y+2 = 0\end{array}\right.\)，解得\(\left\{\begin{array}{l}x = - \frac{1}{3}\\y = - \frac{5}{3}\end{array}\right.\)，所以直线过点\((-\frac{1}{3},-\frac{5}{3},0)\)。

直线的对称式方程为\(\frac{x+\frac{1}{3}}{0}=\frac{y+\frac{5}{3}}{3}=\frac{z - 0}{3}\)，即\(\left\{\begin{array}{l}x = - \frac{1}{3}\\ \frac{y+\frac{5}{3}}{3}=\frac{z}{3}\end{array}\right.\)。

直线的参数方程为\(\left\{\begin{array}{l}x = - \frac{1}{3}\\y = - \frac{5}{3}+3t\\z = 3t\end{array}\right.\)（\(t\)为参数）。

例2：求过点\(A(1,0, - 1)\)和\(B(3,2,1)\)的直线方程。

直线的方向向量\(\vec{s}=\overrightarrow{AB}=(3 - 1,2 - 0,1 + 1)=(2,2,2)\)。

直线过点\(A(1,0, - 1)\)，所以直线的对称式方程为\(\frac{x - 1}{2}=\frac{y - 0}{2}=\frac{z + 1}{2}\)，参数方程为\(\left\{\begin{array}{l}x = 1+2t\\y = 2t\\z = - 1+2t\end{array}\right.\)（\(t\)为参数）。