1. 双曲正切函数的定义

双曲正切函数记为\(\tanh(x)\)，它的定义是\(\tanh(x)=\frac{\sinh(x)}{\cosh(x)}=\frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}\)。

例如，当\(x = 0\)时，\(\tanh(0)=\frac{e^{0}-e^{-0}}{e^{0}+e^{-0}}=\frac{0}{2}=0\)。

2. 双曲正切函数的性质

奇偶性：双曲正切函数是奇函数，即\(\tanh(-x)=-\tanh(x)\)。证明如下：

\(\tanh(-x)=\frac{\sinh(-x)}{\cosh(-x)}=\frac{- \sinh(x)}{\cosh(x)}=-\tanh(x)\)。

单调性：在\((-\infty,+\infty)\)上单调递增。对\(\tanh(x)\)求导，根据除法求导法则\((\frac{u}{v})^\prime=\frac{u^\prime v - uv^\prime}{v^{2}}\)，这里\(u = \sinh(x)\)，\(v=\cosh(x)\)。

\(u^\prime=\cosh(x)\)，\(v^\prime=\sinh(x)\)，则\((\tanh(x))^\prime=\frac{\cosh(x)\cdot\cosh(x)-\sinh(x)\cdot\sinh(x)}{\cosh^{2}(x)}=\frac{1}{\cosh^{2}(x)}>0\)（因为\(\cosh^{2}(x)>0\)），所以函数在整个定义域内单调递增。

值域：因为\(\lim_{x\rightarrow+\infty}\tanh(x)=1\)，\(\lim_{x\rightarrow-\infty}\tanh(x)= - 1\)，所以其值域是\(( - 1,1)\)。

3. 双曲正切函数的图像

双曲正切函数的图像关于原点对称，它在\(x\)轴方向上无限延伸，并且当\(x\)趋近于正无穷时，函数值趋近于\(1\)；当\(x\)趋近于负无穷时，函数值趋近于\(-1\)。函数在原点处的值为\(0\)，图像形状类似于“S”形，在\((-\infty,+\infty)\)上是连续的。

4. 双曲正切函数与其他函数的关系

与双曲正弦和双曲余弦函数的关系：\(\tanh(x)=\frac{\sinh(x)}{\cosh(x)}\)，并且\(1 - \tanh^{2}(x)=\frac{1}{\cosh^{2}(x)}\)。

在反双曲函数关系中，若\(y = \tanh(x)\)，则其反函数\(x = \text{arctanh}(y)\)，并且\(\text{arctanh}(y)=\frac{1}{2}\ln(\frac{1 + y}{1 - y})\)，这在一些涉及到反函数的计算和推导中非常有用。

例1：求函数的导数

已知\(y=\tanh(3x)\)，求\(y^\prime\)。

根据复合函数求导法则，令\(u = 3x\)，则\(y=\tanh(u)\)。

首先求\(y\)关于\(u\)的导数，\((\tanh(u))^\prime=\frac{1}{\cosh^{2}(u)}\)。

然后求\(u\)关于\(x\)的导数，\(u^\prime=(3x)^\prime = 3\)。

根据复合函数求导公式\(y^\prime = y^\prime_{u}\cdot u^\prime_{x}\)，可得\(y^\prime=\frac{3}{\cosh^{2}(3x)}\)。

例2：计算定积分

计算\(\int_{0}^{1}\tanh(x)dx\)。

因为\(\tanh(x)=\frac{\sinh(x)}{\cosh(x)}\)，设\(u = \cosh(x)\)，则\(du=\sinh(x)dx\)。

当\(x = 0\)时，\(u=\cosh(0)=1\)；当\(x = 1\)时，\(u=\cosh(1)\)。

那么\(\int_{0}^{1}\tanh(x)dx=\int_{1}^{\cosh(1)}\frac{1}{u}du=[\ln|u|]_{1}^{\cosh(1)}=\ln(\cosh(1))-\ln(1)=\ln(\cosh(1))\)。

例3：求解方程

已知\(\tanh(x)=\frac{1}{2}\)，求\(x\)的值。

由\(\tanh(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}=\frac{1}{2}\)。

设\(e^{x}=t\)（\(t>0\)），则\(\frac{t - \frac{1}{t}}{t+\frac{1}{t}}=\frac{1}{2}\)。

化简得\(\frac{t^{2}-1}{t^{2}+1}=\frac{1}{2}\)，即\(2t^{2}-2=t^{2}+1\)。

解得\(t^{2}=3\)，所以\(t=\sqrt{3}\)（\(t>0\)）。

当\(t=\sqrt{3}\)时，\(e^{x}=\sqrt{3}\)，则\(x=\ln(\sqrt{3})=\frac{1}{2}\ln(3)\)。

例4：研究函数的渐近线

对于函数\(y = \tanh(x)\)，求其渐近线。

因为\(\lim_{x\rightarrow+\infty}\tanh(x)=1\)，\(\lim_{x\rightarrow-\infty}\tanh(x)= - 1\)，所以\(y = 1\)和\(y=-1\)是函数\(y=\tanh(x)\)的水平渐近线。

例5：在神经网络中的应用（简化示例）

在神经网络的激活函数中，双曲正切函数是一种常用的激活函数。假设一个简单的神经网络层输出为\(z\)，经过双曲正切激活函数后得到\(a=\tanh(z)\)。

例如，\(z = 2\)时，\(a=\tanh(2)=\frac{e^{2}-e^{-2}}{e^{2}+e^{-2}}\approx0.964\)。激活函数可以为神经网络引入非线性因素，使得神经网络能够更好地拟合复杂的数据模式。双曲正切函数的输出范围\(( - 1,1)\)也有助于将神经元的输出归一化到一定的区间内，便于后续的计算和处理。

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