1. 二阶行列式的定义

对于二阶方阵\(A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\)，它所对应的二阶行列式定义为\(\vert A\vert=\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad - bc\)。例如，对于矩阵\(A=\begin{pmatrix}2&3\\4&5\end{pmatrix}\)，其行列式\(\vert A\vert=\begin{vmatrix}2&3\\4&5\end{vmatrix}=2\times5 - 3\times4=-2\)。

2. 二阶行列式的几何意义

在平面直角坐标系中，二阶行列式可以用来表示以两个向量为邻边的平行四边形的有向面积。设向量\(\vec{\alpha}=(a,c)\)，\(\vec{\beta}=(b,d)\)，以\(\vec{\alpha}\)和\(\vec{\beta}\)为邻边的平行四边形的面积\(S\)等于\(\vert\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}\vert\)。当行列式的值为正时，平行四边形的定向与坐标轴的定向一致；当行列式的值为负时，平行四边形的定向与坐标轴的定向相反。例如，对于向量\(\vec{\alpha}=(1,2)\)和\(\vec{\beta}=(3,4)\)，对应的行列式\(\begin{vmatrix}1&3\\2&4\end{vmatrix}=1\times4 - 3\times2=-2\)，表示以这两个向量为邻边的平行四边形的有向面积为\(-2\)，其面积大小为\(2\)，且定向与坐标轴定向相反。

3. 二阶行列式在求解线性方程组中的应用（克莱姆法则）

对于二元线性方程组\(\begin{cases}a_{11}x + a_{12}y = b_{1}\\a_{21}x + a_{22}y = b_{2}\end{cases}\)，其系数矩阵\(A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}\)，设\(\Delta=\vert A\vert=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}\)，\(\Delta_{x}=\begin{vmatrix}b_{1}&a_{12}\\b_{2}&a_{22}\end{vmatrix}\)，\(\Delta_{y}=\begin{vmatrix}a_{11}&b_{1}\\a_{21}&b_{2}\end{vmatrix}\)。

当\(\Delta\neq0\)时，方程组有唯一解，且\(x = \frac{\Delta_{x}}{\Delta}\)，\(y=\frac{\Delta_{y}}{\Delta}\)。例如，对于方程组\(\begin{cases}2x + 3y = 8\\4x - y = 6\end{cases}\)，\(\Delta=\begin{vmatrix}2&3\\4&-1\end{vmatrix}=2\times(-1)-3\times4=-14\)，\(\Delta_{x}=\begin{vmatrix}8&3\\6&-1\end{vmatrix}=8\times(-1)-3\times6=-26\)，\(\Delta_{y}=\begin{vmatrix}2&8\\4&6\end{vmatrix}=2\times6 - 8\times4=-20\)，则\(x=\frac{-26}{-14}=\frac{13}{7}\)，\(y=\frac{-20}{-14}=\frac{10}{7}\)。

4. 二阶行列式的性质及推导

性质一：转置不变性

若\(A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\)，\(A^T=\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}\)，则\(\vert A\vert=\vert A^T\vert\)，因为\(\vert A\vert = ad - bc\)，\(\vert A^T\vert=ad - bc\)，这是显然的。

性质二：换行（列）变号

设\(A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\)，若交换\(A\)的两行得到\(B=\begin{pmatrix}c&d\\a&b\end{pmatrix}\)，则\(\vert B\vert=-\vert A\vert\)，因为\(\vert B\vert = cb - da=-(ad - bc)=-\vert A\vert\)。同理，交换两列也会使行列式变号。

性质三：数乘性质

若\(k\)是一个数，\(A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\)，则\(\vert kA\vert=k^2\vert A\vert\)。因为\(kA=\begin{pmatrix}ka&kb\\kc&kd\end{pmatrix}\)，\(\vert kA\vert=(ka)(kd)-(kb)(kc)=k^2(ad - bc)=k^2\vert A\vert\)。

性质四：加法性质（按行/列拆开）

设\(A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\)，\(B=\begin{pmatrix}a'&b'\\c'&d'\end{pmatrix}\)，则\(\vert A + B\vert=\vert\begin{pmatrix}a + a'&b + b'\\c + c'&d + d'\end{pmatrix}\vert=(a + a')(d + d')-(b + b')(c + c')\)，一般情况下\(\vert A + B\vert\neq\vert A\vert+\vert B\vert\)。但是如果\(A\)和\(B\)只有一行（列）不同，例如\(A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\)，\(B=\begin{pmatrix}a'&b\\c'&d\end{pmatrix}\)，那么\(\vert A + B\vert=\vert\begin{pmatrix}a + a'&b\\c + c'&d\end{pmatrix}\vert=(a + a')d - b(c + c')=(ad - bc)+(a'd - b c')=\vert A\vert+\vert B\vert\)。

性质五：行列式某一行（列）的元素乘以同一个数后加到另一行（列）的对应元素上，行列式的值不变

设\(A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\)，将第一行乘以\(k\)加到第二行得到\(B=\begin{pmatrix}a&b\\c + ka&d + kb\end{pmatrix}\)，则\(\vert B\vert=\begin{vmatrix}a&b\\c + ka&d + kb\end{vmatrix}=a(d + kb)-b(c + ka)=ad - bc=\vert A\vert\)。

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