1. 函数加法运算

定义：设函数\(y = f(x)\)，定义域为\(D_{f}\)，函数\(y = g(x)\)，定义域为\(D_{g}\)。则函数\((f + g)(x)\)的定义域为\(D = D_{f}\cap D_{g}\neq\varnothing\)（非空），且\((f + g)(x)=f(x)+g(x)\)，\(x\in D\)。

例1：设\(f(x)=\sqrt{x}\)，定义域\(D_{f}=[0,+\infty)\)，\(g(x)=\sqrt{1 - x}\)，定义域\(D_{g}=(-\infty,1]\)。

首先求\((f + g)(x)\)的定义域\(D = D_{f}\cap D_{g}=[0,1]\)。

然后\((f + g)(x)=\sqrt{x}+\sqrt{1 - x}\)，\(x\in[0,1]\)。

例2：设\(f(x)=x^{2}+1\)，定义域\(D_{f}=(-\infty,+\infty)\)，\(g(x)=\frac{1}{x}\)，定义域\(D_{g}=\{x|x\neq0\}\)。

其定义域\(D = D_{f}\cap D_{g}=\{x|x\neq0\}\)。

\((f + g)(x)=x^{2}+1+\frac{1}{x}\)，\(x\in\{x|x\neq0\}\)。

2. 函数减法运算

定义：设函数\(y = f(x)\)，定义域为\(D_{f}\)，函数\(y = g(x)\)，定义域为\(D_{g}\)。则函数\((f - g)(x)\)的定义域为\(D = D_{f}\cap D_{g}\neq\varnothing\)，且\((f - g)(x)=f(x)-g(x)\)，\(x\in D\)。

例1：设\(f(x)=3x - 2\)，定义域\(D_{f}=(-\infty,+\infty)\)，\(g(x)=x^{2}\)，定义域\(D_{g}=(-\infty,+\infty)\)。

定义域\(D = D_{f}\cap D_{g}=(-\infty,+\infty)\)。

\((f - g)(x)=(3x - 2)-x^{2}=-x^{2}+3x - 2\)，\(x\in(-\infty,+\infty)\)。

例2：设\(f(x)=\sqrt{x + 3}\)，定义域\(D_{f}=[- 3,+\infty)\)，\(g(x)=\sqrt{2x}\)，定义域\(D_{g}=[0,+\infty)\)。

定义域\(D = D_{f}\cap D_{g}=[0,+\infty)\)。

\((f - g)(x)=\sqrt{x + 3}-\sqrt{2x}\)，\(x\in[0,+\infty)\)。

3. 函数乘法运算

定义：设函数\(y = f(x)\)，定义域为\(D_{f}\)，函数\(y = g(x)\)，定义域为\(D_{g}\)。则函数\((f\cdot g)(x)\)的定义域为\(D = D_{f}\cap D_{g}\neq\varnothing\)，且\((f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x)\)，\(x\in D\)。

例1：设\(f(x)=x\sin x\)，定义域\(D_{f}=(-\infty,+\infty)\)，\(g(x)=\cos x\)，定义域\(D_{g}=(-\infty,+\infty)\)。

定义域\(D = D_{f}\cap D_{g}=(-\infty,+\infty)\)。

\((f\cdot g)(x)=x\sin x\cos x\)，\(x\in(-\infty,+\infty)\)。

例2：设\(f(x)=\log_{2}(x + 1)\)，定义域\(D_{f}=(-1,+\infty)\)，\(g(x)=\frac{1}{x - 1}\)，定义域\(D_{g}=\{x|x\neq1\}\)。

定义域\(D = D_{f}\cap D_{g}=(-1,1)\cup(1,+\infty)\)。

\((f\cdot g)(x)=\frac{\log_{2}(x + 1)}{x - 1}\)，\(x\in(-1,1)\cup(1,+\infty)\)。

4. 函数除法运算

定义：设函数\(y = f(x)\)，定义域为\(D_{f}\)，函数\(y = g(x)\)，定义域为\(D_{g}\)。则函数\((\frac{f}{g})(x)\)的定义域为\(D=\left\{x|x\in D_{f}\cap D_{g}且g(x)\neq0\right\}\neq\varnothing\)，且\((\frac{f}{g})(x)=\frac{f(x)}{g(x)}\)，\(x\in D\)。

例1：设\(f(x)=x^{2}-1\)，定义域\(D_{f}=(-\infty,+\infty)\)，\(g(x)=x - 1\)，定义域\(D_{g}=(-\infty,+\infty)\)。

定义域\(D=\left\{x|x\in D_{f}\cap D_{g}且g(x)\neq0\right\}=\{x|x\neq1\}\)。

\((\frac{f}{g})(x)=\frac{x^{2}-1}{x - 1}=\frac{(x + 1)(x - 1)}{x - 1}=x + 1\)（\(x\neq1\)）。

例2：设\(f(x)=\sqrt{x}\)，定义域\(D_{f}=[0,+\infty)\)，\(g(x)=\sqrt{x - 1}\)，定义域\(D_{g}=[1,+\infty)\)。

定义域\(D=\left\{x|x\in D_{f}\cap D_{g}且g(x)\neq0\right\}=[1,+\infty)\)。

\((\frac{f}{g})(x)=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x - 1}}=\sqrt{\frac{x}{x - 1}}\)，\(x\in[1,+\infty)\)。

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