1. 洛必达法则的定义

设函数\(f(x)\)和\(g(x)\)满足：在点\(a\)的某去心邻域\(\dot{U}(a)\)内可导，且\(g^{\prime}(x)\neq0\)；

\(\lim_{x\rightarrow a}f(x)=\lim_{x\rightarrow a}g(x)=0\)（或\(\lim_{x\rightarrow a}f(x)=\pm\infty\)且\(\lim_{x\rightarrow a}g(x)=\pm\infty\)）；

那么\(\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}\)。

当\(x\rightarrow\infty\)时，也有类似的结论，即如果\(\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=\lim_{x\rightarrow\infty}g(x)=0\)（或\(\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=\pm\infty\)且\(\lim_{x\rightarrow\infty}g(x)=\pm\infty\)），且在\(|x|\)足够大时\(f(x)\)和\(g(x)\)可导，\(g^{\prime}(x)\neq0\)，则\(\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}\)。

2. 应用条件的注意事项

\(0/0\)型或\(\infty/\infty\)型：一定要先判断极限是否是\(\frac{0}{0}\)型或\(\frac{\infty}{\infty}\)型，否则不能直接使用洛必达法则。

例如\(\lim_{x\rightarrow0}\frac{x + 1}{x}\)不是\(\frac{0}{0}\)型也不是\(\frac{\infty}{\infty}\)型，不能用洛必达法则，直接计算得到极限为\(\infty\)。

可导性及导数不为零：在极限趋近的过程中，\(g^{\prime}(x)\neq0\)这个条件要满足。同时，\(f(x)\)和\(g(x)\)在相应的去心邻域内要可导。

多次使用：有时候需要多次使用洛必达法则，但每次使用前都要检查是否仍满足\(\frac{0}{0}\)型或\(\frac{\infty}{\infty}\)型。

例如求\(\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin x - x +\frac{x^{3}}{6}}{x^{5}}\)，第一次使用洛必达法则后得到\(\lim_{x\rightarrow0}\frac{\cos x - 1+\frac{x^{2}}{2}}{5x^{4}}\)，还是\(\frac{0}{0}\)型，可继续使用。

3. 洛必达法则的应用举例

\(0/0\)型

求\(\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin ax}{\sin bx}\)（\(a,b\neq0\)）。

这是\(\frac{0}{0}\)型，根据洛必达法则，\(\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin ax}{\sin bx}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{a\cos ax}{b\cos bx}=\frac{a}{b}\)。

\(\infty/\infty\)型

求\(\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{x^{n}}{e^{x}}\)（\(n\in N\)）。

当\(x\rightarrow+\infty\)时，这是\(\frac{\infty}{\infty}\)型。使用洛必达法则，\(\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{x^{n}}{e^{x}}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{nx^{n - 1}}{e^{x}}\)，还是\(\frac{\infty}{\infty}\)型，继续使用洛必达法则\(n\)次后得到\(\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{n!}{e^{x}} = 0\)。

4. 与其他方法结合使用

有时候洛必达法则与等价无穷小替换等方法结合使用会更简便。

例如求\(\lim_{x\rightarrow0}\frac{\tan x - x}{x^{3}}\)，可以先利用等价无穷小\(\tan x\sim x+\frac{x^{3}}{3}(x\rightarrow0)\)，将原式化为\(\lim_{x\rightarrow0}\frac{x+\frac{x^{3}}{3}-x}{x^{3}}=\frac{1}{3}\)。也可以直接用洛必达法则，\(\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sec^{2}x - 1}{3x^{2}}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{\tan^{2}x}{3x^{2}}=\frac{1}{3}\)。

5. 洛必达法则的失效情况

有些极限虽然是\(\frac{0}{0}\)型或\(\frac{\infty}{\infty}\)型，但使用洛必达法则后极限不存在，而原极限可能是存在的。

例如\(\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{x+\sin x}{x}\)，这是\(\frac{\infty}{\infty}\)型，使用洛必达法则后得到\(\lim_{x\rightarrow+\infty}(1+\cos x)\)，\(\cos x\)在\(x\rightarrow+\infty\)时极限不存在，但原极限\(\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{x+\sin x}{x}=\lim_{x\rightarrow+\infty}(1+\frac{\sin x}{x}) = 1\)是存在的。所以在使用洛必达法则时，如果求导后极限不存在，不能直接得出原极限不存在的结论。

\(0/0\)型（基础）

例1：求\(\lim_{x\rightarrow0}\frac{e^{x}-1}{x}\)。

解：这是\(\frac{0}{0}\)型，根据洛必达法则，\(\lim_{x\rightarrow0}\frac{e^{x}-1}{x}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{e^{x}}{1}=1\)。

例2：求\(\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin2x}{3x}\)。

解：这是\(\frac{0}{0}\)型，由洛必达法则，\(\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin2x}{3x}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{2\cos2x}{3}=\frac{2}{3}\)。

例3：求\(\lim_{x\rightarrow0}\frac{\ln(1 + x)}{x}\)。

解：这是\(\frac{0}{0}\)型，使用洛必达法则可得\(\lim_{x\rightarrow0}\frac{\ln(1 + x)}{x}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{\frac{1}{1 + x}}{1}=1\)。

例4：求\(\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sqrt{1 + x}-1}{x}\)。

解：这是\(\frac{0}{0}\)型，应用洛必达法则，\(\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sqrt{1 + x}-1}{x}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{\frac{1}{2\sqrt{1 + x}}}{1}=\frac{1}{2}\)。

例5：求\(\lim_{x\rightarrow0}\frac{1 - \cos x}{x^{2}}\)。

解：这是\(\frac{0}{0}\)型，根据洛必达法则，\(\lim_{x\rightarrow0}\frac{1 - \cos x}{x^{2}}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin x}{2x}\)，还是\(\frac{0}{0}\)型，再用一次洛必达法则得\(\lim_{x\rightarrow0}\frac{\cos x}{2}=\frac{1}{2}\)。

例6：求\(\lim_{x\rightarrow0}\frac{\tan x - x}{x^{3}}\)。

解：这是\(\frac{0}{0}\)型，用洛必达法则，\(\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sec^{2}x - 1}{3x^{2}}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{\tan^{2}x}{3x^{2}}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{x^{2}}{3x^{2}}=\frac{1}{3}\)（这里用到了\(\tan x\sim x\)，\(x\rightarrow0\)）。

例7：求\(\lim_{x\rightarrow0}\frac{\arcsin x}{x}\)。

解：这是\(\frac{0}{0}\)型，由洛必达法则，\(\lim_{x\rightarrow0}\frac{\arcsin x}{x}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}}{1}=1\)。

例8：求\(\lim_{x\rightarrow0}\frac{\arctan x}{x}\)。

解：这是\(\frac{0}{0}\)型，使用洛必达法则可得\(\lim_{x\rightarrow0}\frac{\arctan x}{x}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{\frac{1}{1 + x^{2}}}{1}=1\)。

例9：求\(\lim_{x\rightarrow0}\frac{e^{x}-e^{-x}}{2x}\)。

解：这是\(\frac{0}{0}\)型，根据洛必达法则，\(\lim_{x\rightarrow0}\frac{e^{x}-e^{-x}}{2x}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}=1\)。

例10：求\(\lim_{x\rightarrow0}\frac{x - \sin x}{x^{3}}\)。

解：这是\(\frac{0}{0}\)型，用洛必达法则，\(\lim_{x\rightarrow0}\frac{1-\cos x}{3x^{2}}\)，还是\(\frac{0}{0}\)型，再用一次得\(\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin x}{6x}=\frac{1}{6}\)。

\(\infty/\infty\)型（基础）

例11：求\(\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{x^{2}}{e^{x}}\)。

解：这是\(\frac{\infty}{\infty}\)型，用洛必达法则，\(\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{x^{2}}{e^{x}}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{2x}{e^{x}}\)，还是\(\frac{\infty}{\infty}\)型，再用一次得\(\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{2}{e^{x}}=0\)。

例12：求\(\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\ln x}{x}\)。

解：这是\(\frac{\infty}{\infty}\)型，根据洛必达法则，\(\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\ln x}{x}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\frac{1}{x}}{1}=0\)。

例13：求\(\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}\)。

解：这是\(\frac{\infty}{\infty}\)型，用洛必达法则，\(\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{1}{\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}}=1\)。

例14：求\(\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{3x^{2}+2x - 1}{2x^{2}-x + 3}\)。

解：这是\(\frac{\infty}{\infty}\)型，应用洛必达法则，\(\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{6x + 2}{4x - 1}\)，还是\(\frac{\infty}{\infty}\)型，再用一次得\(\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{6}{4}=\frac{3}{2}\)。

例15：求\(\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{e^{x}+x}{e^{x}-x}\)。

解：这是\(\frac{\infty}{\infty}\)型，根据洛必达法则，\(\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{e^{x}+1}{e^{x}-1}\)，还是\(\frac{\infty}{\infty}\)型，再用一次得\(\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{e^{x}}{e^{x}} = 1\)。

\(0/0\)型（综合）

例16：求\(\lim_{x\rightarrow0}\frac{(1 + x)^{\frac{1}{x}}-e}{x}\)。

解：这是\(\frac{0}{0}\)型，先对\((1 + x)^{\frac{1}{x}}\)求导，设\(y=(1 + x)^{\frac{1}{x}}\)，则\(\ln y=\frac{\ln(1 + x)}{x}\)，两边求导得\(\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{\frac{1}{1 + x}\cdot x-\ln(1 + x)}{x^{2}}\)，\(y^{\prime}=(1 + x)^{\frac{1}{x}}\cdot\frac{\frac{x}{1 + x}-\ln(1 + x)}{x^{2}}\)。

原极限\(\lim_{x\rightarrow0}\frac{(1 + x)^{\frac{1}{x}}-e}{x}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{(1 + x)^{\frac{1}{x}}\cdot\frac{\frac{x}{1 + x}-\ln(1 + x)}{x^{2}}}{1}\)，再对\(\frac{\frac{x}{1 + x}-\ln(1 + x)}{x^{2}}\)用洛必达法则，经过计算可得极限为\(-\frac{e}{2}\)。

例17：求\(\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin x - x+\frac{x^{3}}{6}}{x^{5}}\)。

解：这是\(\frac{0}{0}\)型，用洛必达法则，\(\lim_{x\rightarrow0}\frac{\cos x - 1+\frac{x^{2}}{2}}{5x^{4}}\)，还是\(\frac{0}{0}\)型，继续用得\(\lim_{x\rightarrow0}\frac{-\sin x + x}{20x^{3}}\)，还是\(\frac{0}{0}\)型，再用得\(\lim_{x\rightarrow0}\frac{-\cos x + 1}{60x^{2}}\)，还是\(\frac{0}{0}\)型，再用得\(\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin x}{120x}=\frac{1}{120}\)。

\(\infty/\infty\)型（综合）

例18：求\(\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{x^{\alpha}}{e^{\beta x}}\)（\(\alpha,\beta>0\)）。

解：这是\(\frac{\infty}{\infty}\)型，用洛必达法则，\(\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\alpha x^{\alpha - 1}}{\beta e^{\beta x}}\)，还是\(\frac{\infty}{\infty}\)型，继续用\(\alpha(\alpha - 1)x^{\alpha - 2}\div(\beta^{2}e^{\beta x})\)，经过\(n\)次（\(n\geqslant\alpha\)）后可得极限为\(0\)。

例19：求\(\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\ln^{n}x}{x}\)（\(n\in N\)）。

解：这是\(\frac{\infty}{\infty}\)型，用洛必达法则，\(\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{n\ln^{n - 1}x\cdot\frac{1}{x}}{1}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{n\ln^{n - 1}x}{x}\)，经过\(n\)次洛必达法则后可得极限为\(0\)。

其他类型（结合等价无穷小等）

例20：求\(\lim_{x\rightarrow0}\frac{e^{x}-1 - x - \frac{x^{2}}{2}}{x^{3}}\)。

解：这是\(\frac{0}{0}\)型，用洛必达法则，\(\lim_{x\rightarrow0}\frac{e^{x}-1 - x}{3x^{2}}\)，还是\(\frac{0}{0}\)型，再用得\(\lim_{x\rightarrow0}\frac{e^{x}-1}{6x}\)，再用得\(\lim_{x\rightarrow0}\frac{e^{x}}{6}=\frac{1}{6}\)（也可以结合等价无穷小\(e^{x}-1\sim x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{6}\)，\(x\rightarrow0\)来计算）。

高等数学