1. 有界性定理

定理内容：若函数\(y = f(x)\)在闭区间\([a,b]\)上连续，则\(f(x)\)在\([a,b]\)上有界，即存在常数\(M>0\)，使得对于任意\(x\in[a,b]\)，都有\(\vert f(x)\vert\leq M\)。

证明思路：采用反证法。

假设函数\(f(x)\)在\([a,b]\)上无界，那么对于任意的自然数\(n\)，存在\(x_n\in[a,b]\)，使得\(\vert f(x_n)\vert>n\)。由于\(\{x_n\}\)是有界数列（因为\(x_n\in[a,b]\)），根据波尔查诺 - 魏尔斯特拉斯定理，\(\{x_n\}\)有收敛子列\(\{x_{n_k}\}\)，设\(\lim_{k\rightarrow\infty}x_{n_k}=x_0\)，且\(x_0\in[a,b]\)。因为\(f(x)\)在\([a,b]\)上连续，所以\(\lim_{k\rightarrow\infty}f(x_{n_k}) = f(x_0)\)，这与\(\vert f(x_{n_k})\vert>n_k\)矛盾，所以\(f(x)\)在\([a,b]\)上有界。

应用示例：比如函数\(y = x^2\)在\([0,1]\)上连续，很明显在这个区间内\(0\leq y\leq1\)，是有界的。

2. 最大值和最小值定理

定理内容：若函数\(y = f(x)\)在闭区间\([a,b]\)上连续，则\(f(x)\)在\([a,b]\)上一定能取得最大值和最小值，即存在\(x_1,x_2\in[a,b]\)，使得对于任意\(x\in[a,b]\)，都有\(f(x_1)\leq f(x)\leq f(x_2)\)。

证明思路：由有界性定理可知，函数\(f(x)\)的值域是有界集。

设其值域为\(Y\)，根据确界原理，\(Y\)有上确界\(M\)和下确界\(m\)。下面证明\(M\)和\(m\)是函数\(f(x)\)在\([a,b]\)上的最大值和最小值。由于\(M\)是\(Y\)的上确界，对于任意的\(\epsilon>0\)，存在\(x'\in[a,b]\)，使得\(M - \epsilon<f(x')\leq M\)。取\(\epsilon = \frac{1}{n}\)（\(n\)为自然数），得到数列\(\{x_n'\}\)，\(\{x_n'\}\)有收敛子列\(\{x_{n_k}'\}\)，设\(\lim_{k\rightarrow\infty}x_{n_k}' = x_2\)，且\(x_2\in[a,b]\)。因为\(f(x)\)在\([a,b]\)上连续，所以\(f(x_2)=\lim_{k\rightarrow\infty}f(x_{n_k}') = M\)，即\(f(x)\)在\([a,b]\)上能取得最大值\(M\)。同理可证能取得最小值\(m\)。

应用示例：函数\(y=\sin x\)在\([0,2\pi]\)上连续，它在这个区间上的最大值是\(1\)（当\(x = \frac{\pi}{2}\)或\(x=\frac{5\pi}{2}\)时取得），最小值是\(-1\)（当\(x=\frac{3\pi}{2}\)时取得）。

3. 介值定理

定理内容：若函数\(y = f(x)\)在闭区间\([a,b]\)上连续，且\(m\)和\(M\)分别是\(f(x)\)在\([a,b]\)上的最小值和最大值，对于任意的\(C\)满足\(m\leq C\leq M\)，则在\([a,b]\)内至少存在一点\(\xi\)，使得\(f(\xi)=C\)。

证明思路：不妨设\(m=f(x_1)\)，\(M = f(x_2)\)，\(x_1,x_2\in[a,b]\)且\(x_1\neq x_2\)。定义函数\(g(x)=f(x)-C\)，则\(g(x)\)在\([a,b]\)上连续，且\(g(x_1)=f(x_1)-C\leq0\)，\(g(x_2)=f(x_2)-C\geq0\)。根据零点定理（下面会讲），可知存在\(\xi\in[a,b]\)，使得\(g(\xi)=0\)，即\(f(\xi)=C\)。

应用示例：已知函数\(y = x^2\)在\([0,2]\)上连续，最小值是\(0\)，最大值是\(4\)。对于任意\(C\in[0,4]\)，比如\(C = 2\)，令\(x^2=2\)，解得\(x=\sqrt{2}\in[0,2]\)，满足介值定理。

4. 零点定理（根的存在定理）

定理内容：若函数\(y = f(x)\)在闭区间\([a,b]\)上连续，且\(f(a)\)与\(f(b)\)异号（即\(f(a)f(b)<0\)），则在\((a,b)\)内至少存在一点\(\xi\)，使得\(f(\xi)=0\)。

证明思路：可看作介值定理的特殊情况，当\(C = 0\)时的情况。因为\(f(a)\)与\(f(b)\)异号，不妨设\(f(a)<0\)，\(f(b)>0\)。考虑区间\([a,b]\)的中点\(c=\frac{a + b}{2}\)，如果\(f(c)=0\)，则定理得证。如果\(f(c)\neq0\)，那么\(f(c)\)要么大于\(0\)，要么小于\(0\)。若\(f(c)>0\)，则在区间\([a,c]\)上继续上述过程；若\(f(c)<0\)，则在区间\([c,b]\)上继续上述过程。通过不断地二分区间，根据闭区间套定理可以证明存在一点\(\xi\)，使得\(f(\xi)=0\)。

应用示例：证明方程\(x^3 - x - 1 = 0\)在区间\([1,2]\)内至少有一个根。令\(f(x)=x^3 - x - 1\)，\(f(1)=1 - 1 - 1=-1\)，\(f(2)=8 - 2 - 1 = 5\)，因为\(f(1)f(2)<0\)，根据零点定理，方程\(x^3 - x - 1 = 0\)在\((1,2)\)内至少有一个根。

例1. 证明方程根的存在性

例题：证明方程\(e^{x}-3x = 0\)在区间\((0,1)\)内至少有一个根。

步骤：

令\(f(x)=e^{x}-3x\)，因为指数函数\(y = e^{x}\)和一次函数\(y = 3x\)都是连续函数，它们的差\(f(x)=e^{x}-3x\)也是连续函数，且\(f(x)\)在闭区间\([0,1]\)上连续。

计算\(f(0)=e^{0}-3\times0 = 1>0\)，\(f(1)=e^{1}-3\times1=e - 3\approx2.718 - 3=- 0.282<0\)。

由于\(f(0)\)与\(f(1)\)异号，根据零点定理，在区间\((0,1)\)内至少存在一点\(\xi\)，使得\(f(\xi)=0\)，即方程\(e^{x}-3x = 0\)在区间\((0,1)\)内至少有一个根。

例2. 判断函数零点的区间范围

例题：已知函数\(f(x)=x^{3}+2x^{2}-5\)，试确定函数\(f(x)\)的零点所在的一个区间。

步骤：

计算\(f(1)=1^{3}+2\times1^{2}-5=-2<0\)，\(f(2)=2^{3}+2\times2^{2}-5=8 + 8-5 = 11>0\)。

因为\(f(x)\)是多项式函数，所以\(f(x)\)在\([1,2]\)上连续，又因为\(f(1)f(2)<0\)，根据零点定理可知，函数\(f(x)\)的零点在区间\((1,2)\)内。

例3. 物理问题中的应用

例题：在一个物体的直线运动过程中，其位移函数\(s(t)\)是关于时间\(t\)的连续函数。已知在时刻\(t = a\)时，物体位于位置\(A\)点左侧（\(s(a)<0\)），在时刻\(t = b\)时，物体位于位置\(A\)点右侧（\(s(b)>0\)），证明在时间区间\((a,b)\)内存在一个时刻\(t_{0}\)，使得物体正好经过\(A\)点（即\(s(t_{0}) = 0\)）。

步骤：

因为位移函数\(s(t)\)是关于时间\(t\)的连续函数，且在闭区间\([a,b]\)上有定义，同时\(s(a)s(b)<0\)。

根据零点定理，在区间\((a,b)\)内至少存在一个时刻\(t_{0}\)，使得\(s(t_{0}) = 0\)，即物体正好经过\(A\)点。

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