考研数学：反常积分

1. 反常积分的概念

无穷区间上的反常积分

设函数\(f(x)\)在区间\([a,+\infty)\)上连续，定义\(\int_{a}^{+\infty}f(x)dx=\lim\limits_{b\to+\infty}\int_{a}^{b}f(x)dx\)。

如果极限\(\lim\limits_{b\to+\infty}\int_{a}^{b}f(x)dx\)存在，则称反常积分\(\int_{a}^{+\infty}f(x)dx\)收敛；否则，称它发散。

例如，对于\(\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x^{2}}dx\)

先计算\(\int_{1}^{b}\frac{1}{x^{2}}dx=-\frac{1}{x}\big|_{1}^{b}=1 - \frac{1}{b}\)，然后求极限\(\lim\limits_{b\to+\infty}(1 - \frac{1}{b}) = 1\)，所以该反常积分收敛。

类似地，

对于区间\((-\infty,b]\)上的函数\(f(x)\)，定义\(\int_{-\infty}^{b}f(x)dx=\lim\limits_{a\to-\infty}\int_{a}^{b}f(x)dx\)；

对于区间\((-\infty,+\infty)\)上的函数\(f(x)\)，定义\(\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=\int_{-\infty}^{c}f(x)dx+\int_{c}^{+\infty}f(x)dx\)

（其中\(c\)为任意实数），当且仅当\(\int_{-\infty}^{c}f(x)dx\)和\(\int_{c}^{+\infty}f(x)dx\)都收敛时，\(\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx\)才收敛。

无界函数的反常积分（瑕积分）

设函数\(f(x)\)在区间\((a,b]\)上连续，且\(\lim\limits_{x\to a^{+}}f(x)=\infty\)，则称\(a\)为瑕点。

定义\(\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim\limits_{t\to a^{+}}\int_{t}^{b}f(x)dx\)。

如果极限\(\lim\limits_{t\to a^{+}}\int_{t}^{b}f(x)dx\)存在，则称瑕积分\(\int_{a}^{b}f(x)dx\)收敛；否则，称它发散。

例如，对于\(\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{x}}dx\)

因为\(x = 0\)是瑕点，计算\(\lim\limits_{t\to0^{+}}\int_{t}^{1}\frac{1}{\sqrt{x}}dx=\lim\limits_{t\to0^{+}}2\sqrt{x}\big|_{t}^{1}=\lim\limits_{t\to0^{+}}(2 - 2\sqrt{t}) = 2\)，所以该瑕积分收敛。

若\(f(x)\)在\([a,b)\)上连续，且\(\lim\limits_{x\to b^{-}}f(x)=\infty\)，则\(b\)为瑕点，\(\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim\limits_{t\to b^{-}}\int_{a}^{t}f(x)dx\)；

若\(f(x)\)在\([a,c)\cup(c,b]\)上连续，且\(\lim\limits_{x\to c}f(x)=\infty\)，则\(c\)为瑕点，\(\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^{b}f(x)dx\)，当且仅当\(\int_{a}^{c}f(x)dx\)和\(\int_{c}^{b}f(x)dx\)都收敛时，\(\int_{a}^{b}f(x)dx\)才收敛。

2. 反常积分的计算方法

利用牛顿 - 莱布尼茨公式的推广形式：

对于无穷区间上的反常积分，如\(\int_{a}^{+\infty}f(x)dx\)，先求\(f(x)\)的原函数\(F(x)\)，然后计算\(\lim\limits_{b\to+\infty}[F(b)-F(a)]\)。

对于瑕积分，如\(\int_{a}^{b}f(x)dx\)（\(a\)为瑕点），先求\(f(x)\)的原函数\(F(x)\)，然后计算\(\lim\limits_{t\to a^{+}}[F(b)-F(t)]\)。

例如，计算\(\int_{0}^{+\infty}e^{-x}dx\)，原函数为\(-e^{-x}\)，则\(\lim\limits_{b\to+\infty}(-e^{-b}+e^{0}) = 1\)。

换元法：在反常积分中也可以使用换元法。

例如，对于\(\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x\sqrt{x^{2}-1}}dx\)

令\(x=\sec t\)，\(dx=\sec t\tan tdt\)，当\(x = 1\)时，\(t = 0\)；当\(x\to+\infty\)时，\(t\to\frac{\pi}{2}\)。则原式变为

\(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sec t\tan t}{\sec t\tan t}dt=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}1dt=\frac{\pi}{2}\)。

分部积分法：对于某些反常积分，分部积分法也适用。

例如，计算\(\int_{0}^{+\infty}x e^{-x}dx\)

设\(u = x\)，\(v^\prime=e^{-x}\)，则\(u^\prime = 1\)，\(v=-e^{-x}\)。根据分部积分公式

\(\int_{0}^{+\infty}u(x)v^\prime(x)dx=[u(x)v(x)]_{0}^{+\infty}-\int_{0}^{+\infty}u^\prime(x)v(x)dx\)，其中

\([u(x)v(x)]_{0}^{+\infty}=\lim\limits_{b\to+\infty}[u(b)v(b)-u(0)v(0)]\)，经过计算可得该反常积分收敛且值为\(1\)。

3. 反常积分的判别法

无穷区间上反常积分的判别法

比较判别法：

设函数\(f(x)\)、\(g(x)\)在区间\([a,+\infty)\)上连续，且\(0\leq f(x)\leq g(x)\)。

若\(\int_{a}^{+\infty}g(x)dx\)收敛，则\(\int_{a}^{+\infty}f(x)dx\)收敛；

若\(\int_{a}^{+\infty}f(x)dx\)发散，则\(\int_{a}^{+\infty}g(x)dx\)发散。

例如，要判断\(\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{x^{3}+1}}dx\)的敛散性

因为\(\frac{1}{\sqrt{x^{3}+1}}\leq\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}\)，

而\(\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}dx\)收敛，所以\(\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{x^{3}+1}}dx\)收敛。

极限判别法：

设函数\(f(x)\)在区间\([a,+\infty)\)上连续且非负，

若\(\lim\limits_{x\to+\infty}x^{p}f(x)=l\)（\(0\leq l<+\infty\)），当\(p > 1\)时，\(\int_{a}^{+\infty}f(x)dx\)收敛；

若\(\lim\limits_{x\to+\infty}x^{p}f(x)=l\)（\(0 < l\leq+\infty\)），当\(p\leq1\)时，\(\int_{a}^{+\infty}f(x)dx\)发散。

例如，对于\(\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x\ln x}dx\)，令\(f(x)=\frac{1}{x\ln x}\)，\(\lim\limits_{x\to+\infty}x\cdot\frac{1}{x\ln x}=\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{1}{\ln x}=+\infty\)，因为\(p = 1\)，所以该反常积分发散。