考研数学：函数
1. 函数的基本定义
设数集\(D\subseteq R\)（\(R\)为实数集），则映射\(f:D\to R\)称为定义在\(D\)上的函数，简记为\(y = f(x),x\in D\)。
其中\(x\)称为自变量，\(y\)称为因变量，\(D\)称为函数的定义域，记作\(D_f\)。函数值\(f(x)\)的全体所构成的集合称为值域，记作\(R_f=\left\{y\vert y = f(x),x\in D_f\right\}\)。
例如，对于函数\(y = \sqrt{x}\)，其定义域\(D = [0,+\infty)\)，因为对于任何非负实数\(x\)，\(\sqrt{x}\)都有唯一的非负实数与之对应。当\(x\)在定义域\([0,+\infty)\)内取值时，值域\(R_f=[0,+\infty)\)。
2. 对函数定义的深入理解
定义域的重要性：定义域是函数的基础，它规定了自变量的取值范围。函数只有在定义域内才有意义。例如，函数\(y=\frac{1}{x}\)，其定义域是\(x\neq0\)，因为当\(x = 0\)时，\(\frac{1}{x}\)无定义。不同的定义域可以导致函数具有不同的性质。例如，\(y = x^2\)在定义域\((-\infty,+\infty)\)上是偶函数，而如果将定义域限制为\([0,+\infty)\)，它就失去了关于\(y\)轴对称的性质。
对应法则的唯一性：对于定义域内的每一个\(x\)，按照给定的规则（对应法则），有且只有一个\(y\)与之对应。这是函数区别于一般关系的重要特征。例如，对于关系\(x^2 + y^2 = 1\)（\(x,y\in R\)），它不是函数，因为当\(x = 0\)时，\(y=\pm1\)，不满足一个\(x\)对应唯一的\(y\)的要求。但如果将其改写为\(y=\sqrt{1 - x^2}\)（\(y\geq0\)），此时对于给定的\(x\in[-1,1]\)，就有唯一的\(y\)与之对应，这就构成了一个函数。
值域的确定：值域是由定义域和对应法则共同决定的。它是函数所有可能输出值的集合。通过分析定义域和对应法则，可以确定函数的值域。例如，对于函数\(y = 2x + 1\)，当定义域为\((-\infty,+\infty)\)时，由于\(x\)可以取任意实数，\(2x\)也可以取任意实数，\(2x + 1\)同样可以取任意实数，所以值域为\((-\infty,+\infty)\)。
3. 函数定义的拓展与变化
多元函数：当自变量的个数超过一个时，就形成了多元函数。例如，\(z = f(x,y)\)是一个二元函数，它的定义域是\(x - y\)平面上的一个区域\(D\)，对于\(D\)中的每一对\((x,y)\)，按照一定的规则对应唯一的\(z\)值。例如，\(z = x^2 + y^2\)，其定义域可以是整个\(x - y\)平面\(R^2\)，当\((x,y)\)在平面上取值时，\(z\)的值由\(x^2 + y^2\)确定，值域是\([0,+\infty)\)。
隐函数：有些函数不是以\(y = f(x)\)这种显式形式给出的，而是通过一个方程\(F(x,y)=0\)来定义的，这种函数称为隐函数。例如，方程\(x^2 + y^2 - 1 = 0\)在一定条件下可以确定\(y\)是\(x\)的隐函数。在某些区间内，可以解出\(y=\pm\sqrt{1 - x^2}\)，但隐函数并不总是能显式地解出\(y\)关于\(x\)的表达式，不过它依然满足函数的基本定义，即对于给定的\(x\)在一定范围内，有唯一确定的\(y\)与之对应（可能需要根据具体情况确定范围和唯一性）。
