考研数学：重要极限：\(\lim_{n\to\infty}(1 + \frac{1}{n})^{n}=e\)
\(\lim_{n\to\infty}(1 + \frac{1}{n})^{n}=e\)
当\(x\to\infty\)时 \(\lim_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^{x}=e\)
当\(x\to0\)时，\(\lim_{x\to0}(1 + x)^{\frac{1}{x}}=e\)
例1：直接应用极限形式（数列）
计算\(\lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^{3n}\)。
令\(m = 3n\)，当\(n\to\infty\)时，\(m\to\infty\)。则原式可化为\(\lim_{m\to\infty}(1 + \frac{1}{m/3})^{m}=\lim_{m\to\infty}[(1 + \frac{1}{m/3})^{\frac{m}{3}}]^{3}=e^{3}\)。
例2：函数变形后应用（函数）
计算\(\lim_{x\to\infty}(1-\frac{1}{x})^{x}\)。
令\(t=-x\)，当\(x\to\infty\)时，\(t\to-\infty\)。则原式变为\(\lim_{t\to-\infty}(1+\frac{1}{t})^{-t}=\lim_{t\to-\infty}\frac{1}{(1 + \frac{1}{t})^{t}}=\frac{1}{e}\)。
例3：与其他函数组合应用（函数）
计算\(\lim_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^{x + 1}\)。
可将原式变形为\(\lim_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^{x}\cdot\lim_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})\)，根据重要极限和函数极限的四则运算法则，结果为\(e\times1 = e\)。
例4：在复杂指数函数中的应用（函数）
计算\(\lim_{x\to0}(1 + 2x)^{\frac{1}{x}}\)。
令\(t = 2x\)，当\(x\to0\)时，\(t\to0\)。则原式变为\(\lim_{t\to0}(1 + t)^{\frac{2}{t}}=\lim_{t\to0}[(1 + t)^{\frac{1}{t}}]^{2}=e^{2}\)。
例5：在分式指数中的应用（函数）
计算\(\lim_{x\to\infty}(\frac{x + 1}{x - 1})^{x}\)。
先将原式变形为\(\lim_{x\to\infty}(1+\frac{2}{x - 1})^{x}\)，令\(t=\frac{x - 1}{2}\)，当\(x\to\infty\)时，\(t\to\infty\)。则式子变为\(\lim_{t\to\infty}(1+\frac{1}{t})^{2t + 1}=\lim_{t\to\infty}(1+\frac{1}{t})^{2t}\cdot\lim_{t\to\infty}(1+\frac{1}{t})\)，结果为\(e^{2}\times1 = e^{2}\)。
例6：在复合函数中的应用（函数）
计算\(\lim_{x\to0}(1 + \sin x)^{\frac{1}{\sin x}}\)。
令\(t=\sin x\)，当\(x\to0\)时，\(t\to0\)。则原式变为\(\lim_{t\to0}(1 + t)^{\frac{1}{t}}=e\)。
例7：在极限运算中与对数函数结合（函数）
计算\(\lim_{x\to\infty}x\ln(1+\frac{1}{x})\)。
令\(t=\frac{1}{x}\)，当\(x\to\infty\)时，\(t\to0\)。则原式变为\(\lim_{t\to0}\frac{\ln(1 + t)}{t}\)，根据等价无穷小\(\ln(1 + t)\sim t\)（当\(t\to0\)），结果为\(1\)。
例8：在指数函数与幂函数组合中的应用（函数）
计算\(\lim_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x^{2}})^{x^{2}}\)。
令\(t = x^{2}\)，当\(x\to\infty\)时，\(t\to\infty\)。则原式变为\(\lim_{t\to\infty}(1+\frac{1}{t})^{t}=e\)。
例9：在含三角函数的指数函数中的应用（函数）
计算\(\lim_{x\to0}(1+\tan x)^{\frac{1}{\tan x}}\)。
令\(t = \tan x\)，当\(x\to0\)时，\(t\to0\)。则原式变为\(\lim_{t\to0}(1 + t)^{\frac{1}{t}}=e\)。
例10：在复杂函数组合中的应用（函数）
计算\(\lim_{x\to\infty}[(1+\frac{1}{x})(1+\frac{2}{x})]^{x}\)。
可将原式变形为\(\lim_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^{x}\cdot\lim_{x\to\infty}(1+\frac{2}{x})^{x}\)，进一步处理得到\(\lim_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^{x}\cdot\lim_{x\to\infty}(1+\frac{2}{x})^{\frac{x}{2}\times2}\)，结果为\(e\cdot e^{2}=e^{3}\)。
