1. 比较审敛法

原理：设函数\(f(x)\)和\(g(x)\)在区间\([a,+\infty)\)上连续，且\(0\leq f(x)\leq g(x)\)。

如果\(\int_{a}^{+\infty}g(x)dx\)收敛，那么\(\int_{a}^{+\infty}f(x)dx\)也收敛。这是因为\(f(x)\)的图像始终在\(g(x)\)图像的下方或者重合，当\(g(x)\)与\(x\)轴围成的“无穷面积”是有限值（即\(\int_{a}^{+\infty}g(x)dx\)收敛）时，\(f(x)\)与\(x\)轴围成的“无穷面积”必然也是有限值。

反之，如果\(\int_{a}^{+\infty}f(x)dx\)发散，那么\(\int_{a}^{+\infty}g(x)dx\)也发散。例如，已知\(\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x^{2}}dx\)收敛，对于函数\(f(x)=\frac{1}{\sqrt{x^{3}+ 1}}\)，当\(x\geq1\)时，\(\frac{1}{\sqrt{x^{3}+1}}\leq\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}\)，所以\(\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{x^{3}+1}}dx\)收敛。

极限形式的比较审敛法：设\(f(x)\)是在\([a,+\infty)\)上的非负连续函数。

若存在常数\(p > 1\)和\(M>0\)，使得\(\lim_{x\rightarrow+\infty}x^{p}f(x)=M\)（\(M\)为有限值），则\(\int_{a}^{+\infty}f(x)dx\)收敛。例如，对于\(\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x^{1.1}}dx\)，令\(p = 1.1\)，\(f(x)=\frac{1}{x^{1.1}}\)，\(\lim_{x\rightarrow+\infty}x^{1.1}\times\frac{1}{x^{1.1}} = 1\)，因为\(p = 1.1>1\)，所以该积分收敛。

若存在常数\(p\leq1\)和\(N>0\)，使得\(\lim_{x\rightarrow+\infty}x^{p}f(x)=N\)（\(N\)为非零有限值或者\(+\infty\)），则\(\int_{a}^{+\infty}f(x)dx\)发散。例如，对于\(\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x\ln x}dx\)，令\(p = 1\)，\(f(x)=\frac{1}{x\ln x}\)，\(\lim_{x\rightarrow+\infty}x\times\frac{1}{x\ln x}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{1}{\ln x}=+\infty\)，因为\(p = 1\)，所以该积分发散。

2. 狄利克雷判别法

原理：设函数\(f(x)\)和\(g(x)\)满足以下条件：

\(F(A)=\int_{a}^{A}f(x)dx\)在\([a,+\infty)\)上有界，即存在\(M > 0\)，使得对于任意\(A\geq a\)，\(\vert F(A)\vert=\left|\int_{a}^{A}f(x)dx\right|\leq M\)。

\(g(x)\)在\([a,+\infty)\)上单调且\(\lim_{x\rightarrow+\infty}g(x)=0\)。

那么\(\int_{a}^{+\infty}f(x)g(x)dx\)收敛。例如，对于\(\int_{1}^{+\infty}\frac{\sin x}{x}dx\)，令\(f(x)=\sin x\)，\(g(x)=\frac{1}{x}\)。\(\int_{1}^{A}\sin xdx\)的值在\([- 2,2]\)之间（有界），\(g(x)=\frac{1}{x}\)在\([1,+\infty)\)上单调递减且\(\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{1}{x}=0\)，所以\(\int_{1}^{+\infty}\frac{\sin x}{x}dx\)收敛。

3. 阿贝尔判别法

原理：设函数\(f(x)\)和\(g(x)\)满足以下条件：

\(\int_{a}^{+\infty}f(x)dx\)收敛。

\(g(x)\)在\([a,+\infty)\)上单调有界。

那么\(\int_{a}^{+\infty}f(x)g(x)dx\)收敛。例如，已知\(\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x^{2}}dx\)收敛，设\(g(x)=\frac{\sin x + 2}{3}\)（单调有界），对于\(\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x^{2}}\times\frac{\sin x + 2}{3}dx\)，根据阿贝尔判别法可知该积分收敛。

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