考研数学：齐次的微分方程
1. 齐次微分方程的定义
一阶微分方程\(\frac{dy}{dx}=F(x,y)\)称为齐次微分方程，如果函数\(F(x,y)\)可化为\(\frac{y}{x}\)的函数，即\(F(x,y) = \varphi(\frac{y}{x})\)。
例如，方程\(\frac{dy}{dx}=\frac{y + x}{x}\)是齐次微分方程，因为它可以化为\(\frac{dy}{dx}=1+\frac{y}{x}\)，这里\(F(x,y)=1 + \frac{y}{x}\)是\(\frac{y}{x}\)的函数。
2. 齐次微分方程的求解方法
变量代换法：令\(u = \frac{y}{x}\)，则\(y = ux\)，对\(y = ux\)求导，根据乘积的求导法则\(y^\prime=(ux)^\prime = u + x\frac{du}{dx}\)。
代入原方程：将\(y = ux\)和\(y^\prime = u + x\frac{du}{dx}\)代入原齐次微分方程\(\frac{dy}{dx}=\varphi(\frac{y}{x})\)，得到\(u + x\frac{du}{dx}=\varphi(u)\)，这是一个可分离变量的微分方程。
分离变量并积分：将上式变形为\(x\frac{du}{dx}=\varphi(u)-u\)，进而得到\(\frac{du}{\varphi(u)-u}=\frac{dx}{x}\)，然后两边积分\(\int\frac{du}{\varphi(u)-u}=\int\frac{dx}{x}+C\)，其中\(C\)为积分常数。
回代求解：求出积分后，将\(u = \frac{y}{x}\)回代，得到原方程的通解。
3. 示例：求解方程\(\frac{dy}{dx}=\frac{y^2}{xy - x^2}\)。
首先判断方程为齐次方程，因为\(\frac{dy}{dx}=\frac{(\frac{y}{x})^2}{\frac{y}{x}-1}\)，令\(u = \frac{y}{x}\)，则\(y = ux\)，\(y^\prime = u + x\frac{du}{dx}\)。
代入原方程可得\(u + x\frac{du}{dx}=\frac{u^2}{u - 1}\)，移项得到\(x\frac{du}{dx}=\frac{u^2}{u - 1}-u=\frac{u}{u - 1}\)。
分离变量得\(\frac{u - 1}{u}du=\frac{dx}{x}\)，即\((1-\frac{1}{u})du=\frac{dx}{x}\)。
两边积分\(\int(1 - \frac{1}{u})du=\int\frac{dx}{x}+C\)，得到\(u - \ln|u|=\ln|x|+C\)。
把\(u = \frac{y}{x}\)回代，得到\(\frac{y}{x}-\ln|\frac{y}{x}|=\ln|x|+C\)，进一步化简为\(y = x(\ln|y| - \ln|x| + C)\)，这就是原方程的通解。
4. 与其他微分方程的联系和区别
齐次微分方程与可分离变量的微分方程有一定联系。齐次微分方程通过变量代换后可以转化为可分离变量的微分方程进行求解。但它们也有区别，可分离变量的微分方程形式是\(g(y)dy = f(x)dx\)，直接通过分离变量就可以积分求解；而齐次微分方程需要先进行变量代换，将其转化为可分离变量的形式后才能求解。同时，要注意与非齐次微分方程的区别，例如一阶线性非齐次微分方程\(y^\prime + p(x)y = q(x)\)（\(q(x)\neq0\)）就不能用齐次微分方程的方法求解。
