1. 直线与平面的夹角定义

设直线\(L\)的方向向量为\(\vec{s}=(m,n,p)\)，平面\(\pi\)的法向量为\(\vec{n}=(A,B,C)\)，直线\(L\)与平面\(\pi\)的夹角\(\theta\)（\(0\leq\theta\leq\frac{\pi}{2}\)），则\(\sin\theta=\frac{\vert\vec{s}\cdot\vec{n}\vert}{\vert\vec{s}\vert\vert\vec{n}\vert}\)，即\(\sin\theta=\frac{\vert Am + Bn + Cp\vert}{\sqrt{m^{2}+n^{2}+p^{2}}\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}}\)。

这里的夹角是指直线与它在平面上的投影直线所成的锐角。

2. 特殊情况说明

直线与平面平行：当直线与平面平行时，直线的方向向量与平面的法向量垂直，即\(\vec{s}\cdot\vec{n}=0\)，此时\(\sin\theta = 0\)，\(\theta = 0\)。

直线与平面垂直：当直线与平面垂直时，直线的方向向量与平面的法向量平行，即\(\vec{s}=k\vec{n}\)（\(k\)为常数），此时\(\sin\theta = 1\)，\(\theta=\frac{\pi}{2}\)。

3. 应用示例

例1：已知直线\(L\)的方向向量\(\vec{s}=(1, - 1,2)\)，平面\(\pi\)的方程为\(2x - y + z - 3 = 0\)，求直线\(L\)与平面\(\pi\)的夹角。

首先，平面\(\pi\)的法向量\(\vec{n}=(2,-1,1)\)。

根据公式\(\sin\theta=\frac{\vert\vec{s}\cdot\vec{n}\vert}{\vert\vec{s}\vert\vert\vec{n}\vert}\)，计算\(\vec{s}\cdot\vec{n}=1\times2+(-1)\times(-1)+2\times1 = 5\)。

计算\(\vert\vec{s}\vert=\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}+2^{2}}=\sqrt{6}\)，\(\vert\vec{n}\vert=\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}+1^{2}}=\sqrt{6}\)。

所以\(\sin\theta=\frac{\vert5\vert}{\sqrt{6}\times\sqrt{6}}=\frac{5}{6}\)，则\(\theta=\arcsin\frac{5}{6}\)。

例2：求直线\(L:\frac{x - 1}{2}=\frac{y + 1}{3}=\frac{z - 2}{4}\)与平面\(\pi:x + 2y - z + 3 = 0\)的夹角。

直线\(L\)的方向向量\(\vec{s}=(2,3,4)\)，平面\(\pi\)的法向量\(\vec{n}=(1,2,-1)\)。

计算\(\vec{s}\cdot\vec{n}=2\times1 + 3\times2+4\times(-1)=4\)。

\(\vert\vec{s}\vert=\sqrt{2^{2}+3^{2}+4^{2}}=\sqrt{29}\)，\(\vert\vec{n}\vert=\sqrt{1^{2}+2^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{6}\)。

则\(\sin\theta=\frac{\vert4\vert}{\sqrt{29}\times\sqrt{6}}=\frac{4}{\sqrt{174}}\)，\(\theta=\arcsin\frac{4}{\sqrt{174}}\)。

例3：已知直线\(L\)与平面\(\pi\)的夹角为\(\frac{\pi}{6}\)，直线\(L\)的方向向量\(\vec{s}=(m,n,p)\)，平面\(\pi\)的法向量\(\vec{n}=(1, - 1,1)\)，求\(m\)、\(n\)、\(p\)满足的关系式。

根据\(\sin\theta=\frac{\vert\vec{s}\cdot\vec{n}\vert}{\vert\vec{s}\vert\vert\vec{n}\vert}\)，且\(\theta=\frac{\pi}{6}\)，所以\(\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}=\frac{\vert m - n + p\vert}{\sqrt{m^{2}+n^{2}+p^{2}}\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}+1^{2}}}\)。

化简可得\(\frac{\vert m - n + p\vert}{\sqrt{m^{2}+n^{2}+p^{2}}\sqrt{3}}=\frac{1}{2}\)，两边平方得到\(\frac{(m - n + p)^{2}}{3(m^{2}+n^{2}+p^{2})}=\frac{1}{4}\)，进一步展开并整理可得\(m^{2}+n^{2}+p^{2}- 8mn+8mp - 8np = 0\)，这就是\(m\)、\(n\)、\(p\)满足的关系式。

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