考研数学：不定积分的性质
1. 求导与积分的互逆性
性质描述
对不定积分求导，结果为被积函数。即\((\int f(x)dx)^\prime=f(x)\)。
例如，若\(\int 3x^{2}dx = x^{3}+C\)，对\(x^{3}+C\)求导，根据求导公式\((x^{n})^\prime = nx^{n - 1}\)，可得\((x^{3}+C)^\prime = 3x^{2}\)，这正是原来的被积函数。
对函数求导后再积分，得到原函数加上一个积分常数。即\(\int F^\prime(x)dx = F(x)+C\)。
例如，已知\(y = \sin x\)，其导数\(y^\prime=\cos x\)，那么\(\int \cos xdx=\sin x + C\)。
应用意义
在计算积分时，如果我们猜测出一个函数的积分结果，就可以通过求导来验证。
例如，当我们猜测\(\int x\sin xdx\)的结果是\(F(x)\)时，可以通过计算\(F^\prime(x)\)看是否等于\(x\sin x\)来验证猜测是否正确。
在求解微分方程时，这一性质也经常被用到。
例如，对于简单的一阶微分方程\(y^\prime = f(x)\)，求解\(y\)的过程就是求\(f(x)\)的不定积分。
2. 线性性质
性质描述
\(\int [k_{1}f(x)+k_{2}g(x)]dx = k_{1}\int f(x)dx + k_{2}\int g(x)dx\)，其中\(k_{1},k_{2}\)是常数。
例如，计算\(\int (2x + 3\cos x)dx\)，根据线性性质可得\(\int (2x + 3\cos x)dx = 2\int xdx+3\int \cos xdx\)，因为\(\int xdx=\frac{1}{2}x^{2}+C_{1}\)，\(\int \cos xdx=\sin x + C_{2}\)，所以\(\int (2x + 3\cos x)dx=x^{2}+3\sin x + C\)（这里\(C = C_{1}+C_{2}\)，将两个积分常数合并为一个）。
应用意义
当被积函数是多个函数的线性组合时，线性性质可以将复杂的积分拆分成多个简单积分的组合，从而简化计算。
例如，对于多项式函数\(f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n - 1}x^{n - 1}+\cdots+a_{1}x + a_{0}\)，可以利用线性性质将\(\int f(x)dx\)拆分成\(n + 1\)个积分的和，即\(\int f(x)dx=a_{n}\int x^{n}dx+a_{n - 1}\int x^{n - 1}dx+\cdots+a_{1}\int xdx + a_{0}\int 1dx\)，然后分别计算这些简单的积分。
在积分的换元法和分部积分法中，线性性质也起到辅助作用。
例如，在分部积分法中，对于\(\int u(x)v^\prime(x)dx\)，如果\(u(x)\)和\(v^\prime(x)\)是一些函数的线性组合，就可以利用线性性质将其展开后再进行分部积分。
