考研数学：可化为齐次的微分方程
1. 可化为齐次的微分方程的形式
对于形如\(\frac{dy}{dx}=\frac{a_1x + b_1y + c_1}{a_2x + b_2y + c_2}\)（\(a_1,b_1,c_1,a_2,b_2,c_2\)为常数）的微分方程，当\(c_1 = c_2 = 0\)时，它是齐次微分方程。当\(c_1\)和\(c_2\)不全为零时，可通过适当的变换将其化为齐次微分方程。
2. 求解步骤
情况一：\(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\)
设\(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=k\)，则原方程可写成\(\frac{dy}{dx}=\frac{k(a_2x + b_2y)+c_1}{a_2x + b_2y + c_2}\)。
令\(u = a_2x + b_2y\)，那么\(\frac{du}{dx}=a_2 + b_2\frac{dy}{dx}\)，从而\(\frac{dy}{dx}=\frac{1}{b_2}(\frac{du}{dx}-a_2)\)。
原方程可化为\(\frac{1}{b_2}(\frac{du}{dx}-a_2)=\frac{ku + c_1}{u + c_2}\)，这是一个可分离变量的微分方程，通过分离变量\(\frac{b_2(u + c_2)}{(k - 1)u + c_1 - a_2c_2}du = dx\)，然后两边积分求解。
情况二：\(\frac{a_1}{a_2}\neq\frac{b_1}{b_2}\)
先通过解方程组\(\left\{\begin{array}{l}a_1x + b_1y + c_1 = 0\\a_2x + b_2y + c_2 = 0\end{array}\right.\)求出交点\((x_0,y_0)\)。
作变量代换\(X = x - x_0\)，\(Y = y - y_0\)，则\(\frac{dY}{dX}=\frac{a_1X + b_1Y}{a_2X + b_2Y}\)，这是一个齐次微分方程。
按照齐次微分方程的求解方法，令\(u=\frac{Y}{X}\)，即\(Y = uX\)，\(\frac{dY}{dX}=u + X\frac{du}{dX}\)，代入得到\(u + X\frac{du}{dX}=\frac{a_1 + b_1u}{a_2 + b_2u}\)，分离变量后积分求解，最后将\(X = x - x_0\)，\(Y = y - y_0\)回代得到原方程的解。
3. 示例：求解方程\(\frac{dy}{dx}=\frac{x - y + 1}{x + y - 3}\)。
首先判断\(\frac{1}{1}\neq\frac{-1}{1}\)，属于\(\frac{a_1}{a_2}\neq\frac{b_1}{b_2}\)的情况。
解方程组\(\left\{\begin{array}{l}x - y + 1 = 0\\x + y - 3 = 0\end{array}\right.\)，两式相加得\(2x - 2 = 0\)，解得\(x_0 = 1\)，将\(x_0 = 1\)代入\(x - y + 1 = 0\)得\(y_0 = 2\)。
作变量代换\(X = x - 1\)，\(Y = y - 2\)，则原方程变为\(\frac{dY}{dX}=\frac{X - Y}{X + Y}\)。
令\(u = \frac{Y}{X}\)，即\(Y = uX\)，\(\frac{dY}{dX}=u + X\frac{du}{dX}\)，代入得\(u + X\frac{du}{dX}=\frac{1 - u}{1 + u}\)。
移项分离变量得\(\frac{(1 + u)du}{1 - 2u - u^2}=\frac{dX}{X}\)。
两边积分\(\int\frac{(1 + u)du}{1 - 2u - u^2}=\int\frac{dX}{X}+C\)，对左边积分可通过凑微分等方法，设\(t = 1 - 2u - u^2\)，\(dt=(-2 - 2u)du\)，则积分变为\(-\frac{1}{2}\int\frac{dt}{t}\)。
积分后得到\(-\frac{1}{2}\ln|1 - 2u - u^2|=\ln|X|+C\)。
将\(u = \frac{Y}{X}\)回代，再将\(X = x - 1\)，\(Y = y - 2\)回代，得到原方程的解。
4. 总结与注意事项
可化为齐次的微分方程是在齐次微分方程的基础上进行拓展的一类方程。在求解过程中，关键是根据系数的关系选择合适的变换方法，将其转化为齐次方程或可分离变量的方程。
需要注意的是，在积分过程中可能会遇到一些复杂的函数，要熟练运用积分技巧，如换元法、凑微分法等。同时，回代过程要仔细，确保得到的是原方程的正确解。
