考研数学：函数可导性与连续性的关系

1. 可导必连续

定理：如果函数\(y = f(x)\)在点\(x_{0}\)处可导，那么它在点\(x_{0}\)处一定连续。

证明：已知函数\(y = f(x)\)在点\(x_{0}\)处可导，根据导数的定义，\(f^{\prime}(x_{0})=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{\Delta y}{\Delta x}\)存在，其中\(\Delta y = f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})\)。

那么\(\Delta y=\frac{\Delta y}{\Delta x}\cdot\Delta x\)，当\(\Delta x\rightarrow0\)时，\(\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\Delta y=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\left(\frac{\Delta y}{\Delta x}\cdot\Delta x\right)=f^{\prime}(x_{0})\cdot0 = 0\)。

这意味着\(\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}f(x)=f(x_{0})\)，满足函数在某点连续的定义，所以函数在点\(x_{0}\)处连续。

例1，函数\(y = x^{2}\)在其定义域\((-\infty,+\infty)\)内处处可导，其导数为\(y^{\prime}=2x\)。因为它可导，所以在定义域内的任意一点\(x_{0}\)处都是连续的。比如在\(x_{0}=2\)处，\(y^{\prime}(2) = 4\)，并且\(\lim\limits_{x\rightarrow2}x^{2}=4\)，函数在\(x = 2\)处连续。

例2，函数\(y = 3x + 1\)：导数为\(y^\prime = 3\)，在整个实数域内可导。对于任意给定的\(x_0\)，\(\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}(3x + 1)=3x_{0}+1\)，函数在各处极限值等于函数值，是连续的，再次验证了可导必连续。

例3，函数\(y=\sin x\)：导数为\(y^\prime=\cos x\)，在定义域\((-\infty,+\infty)\)内处处可导。并且\(\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}\sin x=\sin x_{0}\)，任意点处极限值等于函数值，函数连续，进一步证明可导必连续。

例4，函数\(y = e^{x}\)：导数为\(y^\prime = e^{x}\)，在\((-\infty,+\infty)\)上可导。同时，\(\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}e^{x}=e^{x_{0}}\)，函数在定义域内连续，也体现了可导必连续这一性质。

例5，函数\(y=\ln x\)，\(x\in(0,+\infty)\)：其导数为\(y^\prime=\frac{1}{x}\)，在定义域内可导。对于定义域内任意\(x_0\)，\(\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}\ln x=\ln x_{0}\)，函数连续，同样表明可导的函数一定连续。

2. 连续不一定可导

反例：\(y = \vert x\vert\)在\(x = 0\)处连续但不可导。

首先证明其连续性。\(\lim\limits_{x\rightarrow0^{-}}\vert x\vert=\lim\limits_{x\rightarrow0^{-}}(-x)=0\)，\(\lim\limits_{x\rightarrow0^{+}}\vert x\vert=\lim\limits_{x\rightarrow0^{+}}x = 0\)，且\(y(0)=\vert0\vert = 0\)，所以\(\lim\limits_{x\rightarrow0}y(x)=y(0)\)，函数在\(x = 0\)处连续。

然后求其在\(x = 0\)处的导数。左导数\(f_{-}^{\prime}(0)=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0^{-}}\frac{\vert0+\Delta x\vert-\vert0\vert}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0^{-}}\frac{-\Delta x}{\Delta x}=-1\)，右导数\(f_{+}^{\prime}(0)=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0^{+}}\frac{\vert0+\Delta x\vert-\vert0\vert}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0^{+}}\frac{\Delta x}{\Delta x}=1\)。

由于左导数和右导数不相等，所以函数\(y = \vert x\vert\)在\(x = 0\)处不可导。

再比如\(y=\sqrt[3]{x}\)在\(x = 0\)处连续，因为\(\lim\limits_{x\rightarrow0}\sqrt[3]{x}=0\)，但是它的导数\(y^{\prime}=\frac{1}{3x^{\frac{2}{3}}}\)在\(x = 0\)处导数不存在（分母为\(0\)），所以在\(x = 0\)处不可导。

例如，函数\(y = \begin{cases}x\sin\frac{1}{x}, & x\neq0 \\ 0, & x = 0\end{cases}\)：在\(x = 0\)处连续，因为\(\lim\limits_{x\rightarrow0}x\sin\frac{1}{x}=0\)（无穷小乘以有界函数还是无穷小），而其在\(x = 0\)处的导数，\(\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{(0+\Delta x)\sin\frac{1}{0+\Delta x}-0}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\sin\frac{1}{\Delta x}\)不存在，极限值在\(-1\)到\(1\)之间来回摆动，不趋近于一个确定的值，所以在\(x = 0\)处不可导。

例如，函数\(y = \begin{cases}x^{2}\sin\frac{1}{x}, & x\neq0 \\ 0, & x = 0\end{cases}\)：当\(x\neq0\)时，\(y^\prime = 2x\sin\frac{1}{x}-\cos\frac{1}{x}\)，在\(x = 0\)处，\(\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{x^{2}\sin\frac{1}{x}-0}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow0}x\sin\frac{1}{x}=0\)，函数在\(x = 0\)处连续，但\(\lim\limits_{x\rightarrow0}(2x\sin\frac{1}{x}-\cos\frac{1}{x})\)不存在，因为\(\cos\frac{1}{x}\)在\(x\rightarrow0\)时极限不存在，所以函数在\(x = 0\)处不可导。

例如，维尔斯特拉斯函数\(w(x)=\sum_{n=0}^{\infty}b^{n}\cos(a^{n}x\pi)\)，其中\(b\in\mathbb{R}\)满足\(0\lt b\lt1\)且\(ab\gt1+\frac{3}{2}\pi\)：该函数在\(\mathbb{R}\)上连续，但在\(\mathbb{R}\)中任意一点不可导。它是由傅立叶级数构造的，证明其连续性是根据维尔斯特拉斯\(M\)检验，而证明其不可导性较为复杂，需通过一系列分析得出在任意一点处极限不存在，从而不可导.