考研数学：摆线
1. 摆线的概念
摆线是一种非常有趣的几何曲线。
它是当一个圆沿着一条直线无滑动地滚动时，圆边界上一定点所形成的轨迹。
设圆的半径为\(r\)，如果我们建立平面直角坐标系，并且让圆在\(x\)轴上滚动，其参数方程为\(x = r(t - \sin t)\)，\(y = r(1 - \cos t)\)，其中\(t\)为参数，通常\(t\)表示圆滚动所转过的角度（以弧度为单位）。
2. 摆线的性质
周期性
摆线是周期函数，其周期为\(2\pi r\)。这是因为当圆滚动一周（角度\(t\)从\(0\)变化到\(2\pi\)）时，定点的轨迹就会重复一次。从参数方程来看，当\(t\)增加\(2\pi\)时，\(x\)的值增加\(2\pi r\)，\(y\)的值经过\(1 - \cos(t + 2\pi)=1 - \cos t\)这样的周期变化，所以曲线会周期性地重复。
与\(x\)轴的交点
当\(t = 2k\pi\)（\(k\in Z\)）时，\(y = 0\)，这些点是曲线与\(x\)轴的交点。这是因为\(\cos(2k\pi)=1\)，所以\(y = r(1 - \cos(2k\pi)) = 0\)。
切线性质
通过对参数方程求导可以研究摆线的切线。对\(x = r(t - \sin t)\)求导得\(x^\prime=r(1 - \cos t)\)，对\(y = r(1 - \cos t)\)求导得\(y^\prime=r\sin t\)。那么切线斜率\(k=\frac{y^\prime}{x^\prime}=\frac{\sin t}{1 - \cos t}\)（\(1 - \cos t\neq0\)）。在\(t = 0\)和\(t = 2\pi\)等点处，切线斜率为\(0\)，这意味着在这些点处切线是水平的；当\(t=\pi\)时，切线斜率不存在，此时切线是垂直的。
拱形面积和弧长
摆线一个拱形（\(t\)从\(0\)到\(2\pi\)）与\(x\)轴所围成的面积为\(3\pi r^{2}\)。计算这个面积需要用到定积分，根据曲线与\(x\)轴围成的面积公式\(S=\int_{a}^{b}y dx\)，将\(x = r(t - \sin t)\)，\(y = r(1 - \cos t)\)，\(dx=r(1 - \cos t)dt\)代入并计算积分可得\(3\pi r^{2}\)。
摆线一个拱形的弧长为\(8r\)。利用弧长公式\(L=\int_{t_1}^{t_2}\sqrt{(x^\prime(t))^{2}+(y^\prime(t))^{2}}dt\)，将\(x^\prime=r(1 - \cos t)\)，\(y^\prime=r\sin t\)代入并计算积分，可得弧长为\(8r\)。
3. 举例
设\(r = 1\)，当\(t=\pi\)时，\(x = \pi - 0=\pi\)，\(y = 1 - (-1)=2\)。
当\(t = \frac{\pi}{2}\)时，\(x = \frac{\pi}{2}-1\)，\(y = 1\)。通过这些参数对应的点可以描绘出摆线的形状。例如，从\(t = 0\)开始，此时\((x,y)=(0,0)\)，随着\(t\)的增加，曲线先向上弯曲，形成一个拱形，然后不断重复这种形状，就像车轮滚动时轮缘上一点的运动轨迹一样。摆线在机械传动、物理学中的振动问题等领域都有实际的应用。
