1. 几何应用-平面图形的面积

直角坐标系下：

若平面图形由曲线\(y = f(x)\)，\(y = g(x)\)（\(f(x)\geq g(x)\)）与直线\(x = a\)，\(x = b\)所围成，则其面积\(A=\int_{a}^{b}[f(x)-g(x)]dx\)。例如，求由\(y = x^{2}\)和\(y = x\)所围成的图形面积，先联立方程\(\left\{\begin{array}{l}y = x^{2}\\y = x\end{array}\right.\)，解得交点为\((0,0)\)和\((1,1)\)，则面积\(A=\int_{0}^{1}(x - x^{2})dx=\left[\frac{1}{2}x^{2}-\frac{1}{3}x^{3}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{6}\)。

当曲线是\(x = \varphi(y)\)，\(x = \psi(y)\)（\(\varphi(y)\geq\psi(y)\)）与直线\(y = c\)，\(y = d\)所围成的图形时，面积\(A=\int_{c}^{d}[\varphi(y)-\psi(y)]dy\)。

极坐标系下：

由曲线\(r = r(\theta)\)及射线\(\theta=\alpha\)，\(\theta=\beta\)（\(\alpha<\beta\)）围成的图形面积\(A=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}r^{2}(\theta)d\theta\)。例如，求心形线\(r = a(1 + \cos\theta)\)（\(a>0\)）所围成的图形面积，根据公式可得\(A=\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}a^{2}(1 + \cos\theta)^{2}d\theta\)，展开并积分可得\(A=\frac{3}{2}\pi a^{2}\)。

2. 几何应用-旋转体的体积：

由曲线\(y = f(x)\)，直线\(x = a\)，\(x = b\)（\(a < b\)）及\(x\)轴所围成的平面图形绕\(x\)轴旋转一周所得旋转体的体积\(V_{x}=\pi\int_{a}^{b}f^{2}(x)dx\)。例如，\(y=\sin x\)（\(0\leq x\leq\pi\)）绕\(x\)轴旋转一周所得体积\(V_{x}=\pi\int_{0}^{\pi}\sin^{2}xdx=\frac{\pi^{2}}{2}\)。

若绕\(y\)轴旋转，使用圆柱壳法，体积\(V_{y}=2\pi\int_{a}^{b}xf(x)dx\)。例如，\(y = x^{2}\)（\(1\leq x\leq2\)）绕\(y\)轴旋转一周，\(V_{y}=2\pi\int_{1}^{2}x\cdot x^{2}dx=\frac{15\pi}{2}\)。

已知截面面积的立体体积：若一个立体位于\(x = a\)与\(x = b\)之间，且过点\(x\)且垂直于\(x\)轴的截面面积为\(A(x)\)，则该立体体积\(V=\int_{a}^{b}A(x)dx\)。

3. 几何应用-平面曲线的弧长

直角坐标系下：

对于曲线\(y = f(x)\)（\(a\leq x\leq b\)），弧长\(s=\int_{a}^{b}\sqrt{1 + [f^\prime(x)]^{2}}dx\)。例如，曲线\(y=\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}\)（\(0\leq x\leq1\)），\(y^\prime=x^{\frac{1}{2}}\)，弧长\(s=\int_{0}^{1}\sqrt{1 + x}dx=\frac{2}{3}(2\sqrt{2}-1)\)。

参数方程下：

若曲线的参数方程为\(x = x(t)\)，\(y = y(t)\)（\(\alpha\leq t\leq\beta\)），弧长\(s=\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{[x^\prime(t)]^{2}+[y^\prime(t)]^{2}}dt\)。

极坐标系下：

对于曲线\(r = r(\theta)\)（\(\alpha\leq\theta\leq\beta\)），弧长\(s=\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{r^{2}(\theta)+[r^\prime(\theta)]^{2}}d\theta\)。

4. 物理应用-功：

变力沿直线做功，若力\(F(x)\)是位移\(x\)的函数，物体从\(x = a\)移动到\(x = b\)，则功\(W=\int_{a}^{b}F(x)dx\)。

例如，一个弹簧的弹性力\(F(x)=kx\)（\(k\)为弹性系数），将弹簧从原长拉伸\(l\)长度，所做的功\(W=\int_{0}^{l}kx dx=\frac{1}{2}kl^{2}\)。

水压力：

设平板垂直放置在水中，平板形状由\(y = f(x)\)（\(a\leq x\leq b\)）与\(x\)轴围成，水深为\(h\)，水的密度为\(\rho\)，则平板一侧所受水压力\(P=\rho g\int_{a}^{b}h(x)f(x)dx\)，其中\(h(x)\)是深度函数。

5. 物理应用-引力：

计算细棒对质点的引力等问题，需要将细棒分割成小段，利用万有引力定律\(F = G\frac{m_{1}m_{2}}{r^{2}}\)（\(G\)为引力常数），通过积分求出总的引力。例如，一根长为\(L\)的均匀细棒，质量为\(M\)，在棒的延长线上距离棒端点\(a\)处有一质量为\(m\)的质点，把细棒分成小段\(dx\)，其质量为\(\frac{M}{L}dx\)，对质点的引力\(dF = G\frac{m\frac{M}{L}dx}{(x + a)^{2}}\)，总引力\(F = G\frac{mM}{L}\int_{0}^{L}\frac{1}{(x + a)^{2}}dx\)。

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