初中数学 06 分式的基本性质、分式化简（约分、通分）

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一、分式的定义

一般地，如果\(A\)、\(B\)表示两个整式，并且\(B\)中含有字母，那么式子\(\frac{A}{B}\)就叫做分式。

例如，\(\frac{x + 1}{x - 1}\)、\(\frac{2}{x}\)都是分式。其中\(A\)叫做分式的分子，\(B\)叫做分式的分母。

需要注意的是，分式的分母不能为\(0\)，因为分母为\(0\)时，分式无意义。例如，在分式\(\frac{1}{x}\)中，\(x\neq0\)。

二、分式的基本性质

分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于\(0\)的整式，分式的值不变。

用式子表示为\(\frac{A}{B}=\frac{A\times C}{B\times C}\)，\(\frac{A}{B}=\frac{A\div C}{B\div C}\)（其中\(A\)、\(B\)、\(C\)是整式，且\(C\neq0\)）。

乘法示例：

对于分式\(\frac{2}{3}\)，如果我们将分子分母同时乘以\(x\)（\(x\neq0\)），根据分式的基本性质，得到\(\frac{2\times x}{3\times x}=\frac{2x}{3x}\)，此时分式的值不变。例如，当\(x = 2\)时，\(\frac{2}{3}=\frac{2\times2}{3\times2}=\frac{4}{6}\)。

除法示例：

对于分式\(\frac{4x^2}{6x}\)（\(x\neq0\)），我们可以将分子分母同时除以\(2x\)，根据分式的基本性质，得到\(\frac{4x^2\div(2x)}{6x\div(2x)}=\frac{2x}{3}\)，分式的值不变。

三、分式约分

定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。

约分的关键是找出分子分母的公因式。

示例：对于分式\(\frac{12x^3y}{18x^2y^2}\)，先找出分子分母的公因式为\(6x^2y\)，然后将分子分母同时除以公因式进行约分，得到

\(\frac{12x^3y\div(6x^2y)}{18x^2y^2\div(6x^2y)}=\frac{2x}{3y}\)。

四、分式通分

定义：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。

通分的关键是确定几个分式的最简公分母。

示例：将分式\(\frac{1}{x^2 - 1}\)和\(\frac{1}{x + 1}\)通分。先对\(x^2 - 1\)进行因式分解得\((x + 1)(x - 1)\)，所以最简公分母是\((x + 1)(x - 1)\)。

将\(\frac{1}{x + 1}\)的分子分母同时乘以\((x - 1)\)，得到\(\frac{x - 1}{(x + 1)(x - 1)}\)；\(\frac{1}{x^2 - 1}\)保持不变，此时两个分式就完成了通分。

五、分式应用

在分式的加法和减法运算中，通分是必不可少的步骤。

例如，计算\(\frac{1}{x - 1}+\frac{1}{x + 1}\)，先通分得到\(\frac{x + 1}{(x - 1)(x + 1)}+\frac{x - 1}{(x - 1)(x + 1)}\)，然后根据同分母分式加法法则，将分子相加，分母不变，得到\(\frac{x + 1+x - 1}{(x - 1)(x + 1)}=\frac{2x}{(x - 1)(x + 1)}\)。

在分式的乘法和除法运算中，约分可以简化计算。

例如，计算\(\frac{x^2 - 1}{x}\times\frac{x}{x + 1}\)，先将\(x^2 - 1\)因式分解为\((x + 1)(x - 1)\)，然后约分，得到\((x - 1)\)。

一、分式的定义回顾

分式是指形如\(\frac{A}{B}\)的式子，其中\(A\)、\(B\)是整式，且\(B\)中含有字母。例如\(\frac{x + 1}{x - 1}\)、\(\frac{2}{x}\)都是分式，在\(\frac{A}{B}\)中，\(A\)是分子，\(B\)是分母。

二、分式有意义的条件阐述

分式有意义的条件是分母\(B\neq0\)。因为分式可以看作是分子除以分母的形式，在除法运算中，除数不能为\(0\)，所以当分母不为\(0\)时，分式才有意义。

三、不同类型分式的有意义条件分析

简单分式：

对于分式\(\frac{1}{x}\)，要使这个分式有意义，则\(x\neq0\)。因为当\(x = 0\)时，分母为\(0\)，分式无意义。

含有多项式分母的分式：

例如分式\(\frac{2x + 1}{x^2 - 1}\)，分母\(x^2 - 1=(x + 1)(x - 1)\)。要使分式有意义，则\((x + 1)(x - 1)\neq0\)，即\(x\neq1\)且\(x\neq - 1\)。

含有根式的分式（分母部分）：

对于分式\(\frac{3}{\sqrt{x - 2}}\)，因为根式中被开方数须大于等于\(0\)，且分母不能为\(0\)，所以\(x - 2>0\)，即\(x>2\)时，该分式有意义。

四、在函数中的应用（分式函数）

在函数\(y = \frac{1}{x - 3}\)中，自变量\(x\)的取值范围就是使分式有意义的范围。由分式有意义的条件可知，\(x - 3\neq0\)，即\(x\neq3\)。所以函数\(y = \frac{1}{x - 3}\)的定义域是\(x\in(-\infty,3)\cup(3,+\infty)\)。

对于更复杂的分式函数，如\(y=\frac{x + 1}{\sqrt{x^2 - 4}}\)，要使函数有意义，分母\(\sqrt{x^2 - 4}\neq0\)且\(x^2 - 4\geq0\)。解不等式\(x^2 - 4>0\)，得到\(x>2\)或\(x<-2\)，这就是该函数的定义域。

五、在方程和不等式中的应用

在分式方程\(\frac{2}{x - 1}=\frac{3}{x + 1}\)中，首先要确定\(x\)的取值范围使得方程中的分式有意义。这里\(x\neq1\)且\(x\neq - 1\)。然后通过交叉相乘去分母等方法解方程。

对于分式不等式\(\frac{x - 3}{x + 2}>0\)，同样要先考虑分式有意义的条件，即\(x\neq - 2\)。然后可以通过分析分子分母同号的情况来求解不等式，当\(x - 3>0\)且\(x + 2>0\)，或者\(x - 3<0\)且\(x + 2<0\)时，不等式成立。

一、分式化简的概念

分式化简就是依据分式的基本性质以及相关运算法则，将较为复杂的分式转化为最简形式，也就是分子和分母没有公因式的形式，使得分式的结构更加简洁、清晰，便于后续的计算、求值等操作。

二、分式化简的常用方法及步骤

1、约分

找出公因式：

对分式的分子和分母分别进行因式分解，从而找出它们的公因式。

例如，对于分式\(\frac{12x^3y}{18x^2y^2}\)，先对分子\(12x^3y = 2\times 2\times 3\times x^3\times y\)，分母\(18x^2y^2 = 2\times 3\times 3\times x^2\times y^2\)进行分解，可发现公因式为\(6x^2y\)。

约去公因式：

将分子分母同时除以公因式，得到最简分式。

上述例子中，\(\frac{12x^3y}{18x^2y^2}=\frac{12x^3y\div(6x^2y)}{18x^2y^2\div(6x^2y)}=\frac{2x}{3y}\)。

2、通分

确定最简公分母：

当进行分式的加减法运算或者比较分式大小时，往往需要通分。通分的关键在于确定最简公分母，一般是取各分母所有因式的最高次幂的乘积。

例如，对于分式\(\frac{1}{x^2 - 1}\)和\(\frac{1}{x + 1}\)，先将\(x^2 - 1\)因式分解为\((x + 1)(x - 1)\)，所以最简公分母就是\((x + 1)(x - 1)\)。

将各分式化为同分母分式：

根据分式的基本性质，把各个分式的分子分母同时乘以适当的整式，使其分母都变为最简公分母。如\(\frac{1}{x + 1}\)的分子分母同乘\((x - 1)\)，得到\(\frac{x - 1}{(x + 1)(x - 1)}\)；\(\frac{1}{x^2 - 1}\)保持不变，此时就完成了通分操作，方便后续的运算。

3、利用分式运算规则化简

分式的加法和减法：

同分母分式相加减，分母不变，分子相加减。

例如，\(\frac{a}{b}+\frac{c}{b}=\frac{a + c}{b}\)。而异分母分式相加减，要先通分，变为同分母分式后再进行加减运算。如\(\frac{2}{x}+\frac{3}{x - 1}=\frac{2(x - 1)}{x(x - 1)}+\frac{3x}{x(x - 1)}=\frac{2(x - 1)+3x}{x(x - 1)}=\frac{2x - 2 + 3x}{x(x - 1)}=\frac{5x - 2}{x(x - 1)}\)。

分式的乘法和除法：

分式乘分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母，即\(\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}\)。分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，例如\(\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}=\frac{ad}{bc}\)。比如\(\frac{x^2 - 1}{x}\cdot\frac{x}{x + 1}=\frac{(x + 1)(x - 1)}{x}\cdot\frac{x}{x + 1}=x - 1\)。

4、整体化简与代换

有时候可以将分式中的某一部分看成一个整体进行化简。

例如，对于分式\(\frac{x^2 + 2x + 1}{x + 1}\)，可将分子\(x^2 + 2x + 1\)看成\((x + 1)^2\)，那么原式就可化简为\(\frac{(x + 1)^2}{x + 1}=x + 1\)。

三、分式化简的注意事项

分母不能为零：在化简过程中，无论是约分、通分还是进行其他运算，都要时刻注意分母不能为\(0\)，否则分式无意义。例如，在对分式\(\frac{x}{x - 2}\)进行化简或运算时，\(x\neq2\)这个条件要始终牢记。

因式分解要准确：因式分解是约分、通分等化简步骤的基础，如果因式分解出现错误，那么整个化简过程都会出错。所以要熟练掌握各种因式分解的方法，如提公因式法、公式法（平方差、完全平方等）、十字相乘法等。

四、分式化简的应用

求值问题：在已知分式中字母的值或者字母之间的关系时，先化简分式再代入求值会更加简便。

例如，已知\(x = 3\)，求\(\frac{x^2 - 9}{x^2 + 6x + 9}\)的值，先化简原式\(\frac{(x + 3)(x - 3)}{(x + 3)^2}=\frac{x - 3}{x + 3}\)，再代入\(x = 3\)，得到\(\frac{3 - 3}{3 + 3}=0\)。

解方程与不等式：在分式方程和分式不等式的求解过程中，通常需要先对分式进行化简，以便后续更好地进行移项、去分母等操作。

例如，解分式方程\(\frac{2}{x - 1}+\frac{3}{x + 1}=\frac{5}{x^2 - 1}\)，先对等式两边的分式进行化简通分，再求解方程。

总之，分式化简是分式运算中的重要环节，需要熟练掌握相关的方法和规则，并注意各种细节，才能准确、高效地完成化简工作。