初中数学 11 一元四次方程、韦达定理

陈一男学习网站[ ChenYinan.com ] - 中国数学学会 - 中国院士 - GeoGebra - 数学基础

一元四次方程的解法1：费拉里解法

步骤一：将方程化为标准形式并配方

一元四次方程的一般形式为\(ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx + e = 0\)（\(a\neq0\)）。

先将其化为\(x^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx + e = 0\)（当\(a\neq1\)时，方程两边同时除以\(a\)）。

令\(x = y-\frac{b}{4}\)（这一步的目的是消去三次项），代入方程后得到\(y^{4}+py^{2}+qy + r = 0\)的形式（\(p\)、\(q\)、\(r\)是关于\(b\)、\(c\)、\(d\)、\(e\)的表达式）。

再在方程两边加上\(zy^{2}+z^{2}\)（\(z\)是一个待定的参数），得到\((y^{2}+z)^{2}+(p - 2z)y^{2}+qy + r + z^{2}=0\)。

步骤二：选择合适的\(z\)使方程右边成为完全平方式

对于\((p - 2z)y^{2}+qy + r + z^{2}\)，其判别式\(\Delta = q^{2}-4(p - 2z)(r + z^{2})\)。令\(\Delta = 0\)，这是一个关于\(z\)的三次方程，可以用一元三次方程的解法（如卡尔丹公式或盛金公式）来求解\(z\)。

步骤三：将方程化为两个二次方程求解

当求出\(z\)后，\((y^{2}+z)^{2}+(p - 2z)y^{2}+qy + r + z^{2}=0\)可以写成\((y^{2}+z + m\sqrt{(p - 2z)}y + n)(y^{2}+z - m\sqrt{(p - 2z)}y + n)=0\)（\(m\)、\(n\)是根据配方后的系数确定的常数），这样就得到了两个二次方程，可以用二次方程的求根公式来求解\(y\)，最后将\(y\)的值代回\(x = y-\frac{b}{4}\)求出\(x\)。

一元四次方程的解法2：笛卡尔解法（降次法）

步骤一：将方程化为标准形式并进行变量代换

同样先将一元四次方程化为\(x^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx + e = 0\)（\(a = 1\)的情况）。

设\(x = u + v\)，代入方程后得到\((u + v)^{4}+b(u + v)^{3}+c(u + v)^{2}+d(u + v)+e = 0\)。

展开并整理得\(u^{4}+4u^{3}v + 6u^{2}v^{2}+4uv^{3}+v^{4}+b(u^{3}+3u^{2}v + 3uv^{2}+v^{3})+c(u^{2}+2uv + v^{2})+d(u + v)+e = 0\)。

令\(uv = -\frac{b}{4}\)，则\(v = -\frac{b}{4u}\)，代入上式消去\(v\)，得到一个关于\(u^{2}\)的二次方程。

步骤二：求解关于\(u^{2}\)的二次方程并得到\(u\)的值

利用二次方程求根公式求解关于\(u^{2}\)的二次方程，得到\(u^{2}\)的值，进而求出\(u\)的值（注意\(u\)有两个值）。

步骤三：根据\(uv = -\frac{b}{4}\)求出\(v\)的值，进而得到\(x = u + v\)的值

把\(u\)的值代入\(uv = -\frac{b}{4}\)求出\(v\)的值，然后计算\(x = u + v\)，得到方程的根。

一元四次方程的韦达定理

对于一元四次方程\(ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx + e = 0\)（\(a\neq0\)），设其四个根为\(x_1\)、\(x_2\)、\(x_3\)、\(x_4\)。

则有\(x_1 + x_2 + x_3 + x_4=-\frac{b}{a}\)，\(x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 + x_1x_4 + x_2x_4 + x_3x_4=\frac{c}{a}\)，\(x_1x_2x_3 + x_1x_2x_4 + x_1x_3x_4 + x_2x_3x_4=-\frac{d}{a}\)，\(x_1x_2x_3x_4=\frac{e}{a}\)。

例如，对于方程\(x^{4}-2x^{3}-5x^{2}+8x + 4 = 0\)，设其根为\(x_1\)、\(x_2\)、\(x_3\)、\(x_4\)，根据韦达定理可得\(x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 2\)，\(x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 + x_1x_4 + x_2x_4 + x_3x_4=-5\)，\(x_1x_2x_3 + x_1x_2x_4 + x_1x_3x_4 + x_2x_3x_4=-8\)，\(x_1x_2x_3x_4 = 4\)。这些关系可以用于在已知方程的根的情况下求出方程的系数，或者在已知方程系数的情况下对根的一些组合性质进行分析。

1. 一元四次方程求解（费拉里解法）

例题1：解方程\(x^{4}-2x^{2}+8x - 3 = 0\)

令\(y = x\)（这里三次项系数为\(0\)，无需消去三次项这一步），方程已经是\(y^{4}-2y^{2}+8y - 3 = 0\)的形式。

两边加上\(zy^{2}+z^{2}\)得到\((y^{2}+z)^{2}+(- 2 - 2z)y^{2}+8y - 3 + z^{2}=0\)。

令判别式\(\Delta = 8^{2}-4(-2 - 2z)(-3 + z^{2}) = 0\)，展开得\(64 - 4(6 - 2z^{2}- 6z + 2z^{3}) = 0\)，即\(64 - 24 + 8z^{2}+ 24z - 8z^{3}=0\)，进一步整理为\(z^{3}-z^{2}- 3z - 5 = 0\)。

通过试根法发现\(z = -1\)是这个三次方程的一个根，用多项式除法得到\((z + 1)(z^{2}-2z - 5)=0\)，解得\(z=-1\)或\(z = 1\pm\sqrt{6}\)。

当\(z=-1\)时，原方程变为\((y^{2}-1)^{2}+(-2 + 2)y^{2}+8y - 3 + 1 = 0\)，即\((y^{2}-1)^{2}+8y - 2 = 0\)，展开得\(y^{4}-2y^{2}+1 + 8y - 2 = 0\)，即\(y^{4}-2y^{2}+8y - 1 = 0\)。

设\((y^{2}-1 + my + n)(y^{2}-1 - my + n)=0\)，通过比较系数求解\(m\)和\(n\)，进而求解\(y\)，最后得到\(x\)的值（过程较复杂，此处省略部分计算）。

2. 一元四次方程求解（笛卡尔解法）

例题2：解方程\(x^{4}+2x^{3}-3x^{2}-4x + 4 = 0\)

设\(x = u + v\)，代入方程得\((u + v)^{4}+2(u + v)^{3}-3(u + v)^{2}-4(u + v)+4 = 0\)。

展开并整理得\(u^{4}+4u^{3}v + 6u^{2}v^{2}+4uv^{3}+v^{4}+2(u^{3}+3u^{2}v + 3uv^{2}+v^{3})-3(u^{2}+2uv + v^{2})-4(u + v)+4 = 0\)。

令\(uv = -\frac{2}{4}=-\frac{1}{2}\)，则\(v = -\frac{1}{2u}\)，代入上式消去\(v\)，得到一个关于\(u^{2}\)的二次方程（具体过程省略，因为展开式子很长）。

求解关于\(u^{2}\)的二次方程，得到\(u^{2}\)的值，再求出\(u\)的值，根据\(uv = -\frac{1}{2}\)求出\(v\)的值，最后得到\(x = u + v\)的值。

3. 一元四次方程韦达定理（已知方程求根的关系）

例题3：已知方程\(x^{4}-4x^{3}+3x^{2}+4x - 4 = 0\)，设其根为\(x_1\)、\(x_2\)、\(x_3\)、\(x_4\)，求\(x_1 + x_2 + x_3 + x_4\)，\(x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 + x_1x_4 + x_2x_4 + x_3x_4\)，\(x_1x_2x_3 + x_1x_2x_4 + x_1x_3x_4 + x_2x_3x_4\)和\(x_1x_2x_3x_4\)的值。

根据韦达定理，对于方程\(ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx + e = 0\)（这里\(a = 1\)，\(b=-4\)，\(c = 3\)，\(d = 4\)，\(e=-4\)）。

可得\(x_1 + x_2 + x_3 + x_4=-\frac{b}{a}=4\)，\(x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 + x_1x_4 + x_2x_4 + x_3x_4=\frac{c}{a}=3\)，\(x_1x_2x_3 + x_1x_2x_4 + x_1x_3x_4 + x_2x_3x_4=-\frac{d}{a}=-4\)，\(x_1x_2x_3x_4=\frac{e}{a}=-4\)。

4. 一元四次方程韦达定理（已知根的关系求方程）

例题4：已知一元四次方程的四个根为\(1\)、\(-1\)、\(2\)、\(-2\)，求这个方程。

根据韦达定理，\(x_1 + x_2 + x_3 + x_4=1 - 1+2 - 2 = 0\)，\(x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 + x_1x_4 + x_2x_4 + x_3x_4=(1\times(-1))+(1\times2)+(1\times(-2))+((-1)\times2)+((-1)\times(-2))+(2\times(-2))=-3\)，\(x_1x_2x_3 + x_1x_2x_4 + x_1x_3x_4 + x_2x_3x_4=(1\times(-1)\times2)+(1\times(-1)\times(-2))+(1\times2\times(-2))+((-1)\times2\times(-2))=-4\)，\(x_1x_2x_3x_4=1\times(-1)\times2\times(-2)=4\)。

所以方程为\(x^{4}-0x^{3}-3x^{2}-4x + 4 = 0\)，即\(x^{4}-3x^{2}-4x + 4 = 0\)。

5. 综合应用（方程与函数）

例题5：函数\(y = x^{4}-2x^{3}-x^{2}+2x\)，求函数的零点。

令\(y = 0\)，即\(x^{4}-2x^{3}-x^{2}+2x = 0\)，提取公因式\(x\)得\(x(x^{3}-2x^{2}-x + 2)=0\)。

对于\(x^{3}-2x^{2}-x + 2\)，通过试根法发现\(x = 1\)是一个根，用多项式除法得到\((x - 1)(x^{2}-x - 2)=0\)，进一步分解得\((x - 1)(x - 2)(x + 1)=0\)。

再加上\(x = 0\)这个根，所以函数的零点为\(x = 0\)，\(x = 1\)，\(x = 2\)，\(x=-1\)。

6. 综合应用（方程与几何）

例题6：已知一个长方体的体积是\(x^{4}-4x^{3}+6x^{2}-4x + 1\)，长是\(x - 1\)，宽是\(x - 1\)，求高。

设高为\(h\)，根据长方体体积公式\(V =长\times宽\times高\)，则\((x - 1)(x - 1)h=x^{4}-4x^{3}+6x^{2}-4x + 1\)。

化简得\(h=\frac{x^{4}-4x^{3}+6x^{2}-4x + 1}{(x - 1)^{2}}\)，对分子进行变形\((x - 1)^{4}=x^{4}-4x^{3}+6x^{2}-4x + 1\)，所以\(h=(x - 1)^{2}\)。

7. 一元四次方程在实际问题中的应用（物理）

例题7：在一个物理实验中，物体的位移\(s\)与时间\(t\)的关系满足方程\(s = t^{4}-3t^{3}+2t^{2}+t - 1\)，求物体速度为\(0\)时的时刻。

物体速度\(v = s^\prime\)（\(s^\prime\)是\(s\)对\(t\)的导数），对\(s = t^{4}-3t^{3}+2t^{2}+t - 1\)求导得\(v = 4t^{3}-9t^{2}+4t + 1\)。

令\(v = 0\)，即\(4t^{3}-9t^{2}+4t + 1 = 0\)，这是一个一元三次方程（可以用一元三次方程的解法求解），假设解得\(t_1\)、\(t_2\)、\(t_3\)为其根，则物体在\(t = t_1\)、\(t = t_2\)、\(t = t_3\)时速度为\(0\)。

8. 一元四次方程在实际问题中的应用（经济）

例题8：某产品的利润\(P\)与产量\(x\)之间的关系为\(P = x^{4}-5x^{3}+9x^{2}-7x + 2\)，求利润为\(0\)时的产量。

令\(P = 0\)，即\(x^{4}-5x^{3}+9x^{2}-7x + 2 = 0\)。通过试根法，假设发现\(x = 1\)是一个根，用多项式除法得到\((x - 1)(x^{3}-4x^{2}+5x - 2)=0\)。

对于\(x^{3}-4x^{2}+5x - 2\)，再通过试根法等方法求解（过程可能较复杂），最终得到利润为\(0\)时的产量。

9. 利用一元四次方程的性质解题

例题9：已知一元四次方程\(ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx + e = 0\)（\(a\neq0\)）的四个根成等差数列，设公差为\(d\)，首项为\(x_1\)，用\(a\)、\(b\)、\(d\)表示\(x_1\)。

根据韦达定理\(x_1 + x_2 + x_3 + x_4=-\frac{b}{a}\)，因为四个根成等差数列，所以\(x_2=x_1 + d\)，\(x_3=x_1 + 2d\)，\(x_4=x_1 + 3d\)。

代入韦达定理式子得\(4x_1 + 6d=-\frac{b}{a}\)，再结合其他韦达定理的式子，通过联立方程求解出\(x_1\)（过程中需要用到其他根与系数的关系来消去\(d\)等变量）。

10. 比较不同解法的例题

例题10：解方程\(x^{4}-6x^{2}+8x - 3 = 0\)

分别用费拉里解法和笛卡尔解法求解这个方程。

（1）费拉里解法：先按步骤配方，找到合适的\(z\)使方程右边成为完全平方式，然后化为两个二次方程求解。

（2）笛卡尔解法：设\(x = u + v\)，代入方程，令\(uv = -\frac{b}{4}\)（这里\(b = 0\)），消去\(v\)得到关于\(u^{2}\)的二次方程，再求解\(u\)、\(v\)，进而得到\(x\)的值。通过比较两种解法的步骤、计算量等方面来加深对两种解法的理解。

数学基础 : 小学数学、初中数学、高中数学、高等数学