初中数学 03 二次根式：概念、性质、运算、化简

陈一男学习网站[ ChenYinan.com ] - 中国数学学会 - 中国院士 - GeoGebra - 数学基础

二次根式的概念

定义：一般地，形如\(\sqrt{a}\)（\(a\geq0\)）的式子叫做二次根式，其中“\(\sqrt{}\)”叫做二次根号，\(a\)叫做被开方数。例如，\(\sqrt{4}\)、\(\sqrt{9}\)、\(\sqrt{x + 1}\)（\(x\geq -1\)，保证被开方数非负）等都是二次根式。需要注意的是，被开方数必须是非负数，因为在实数范围内，负数没有平方根。

二次根式的性质

性质1：双重非负性：\(\sqrt{a}\geq0\)（\(a\geq0\)），即二次根式的结果是非负的，同时被开方数也是非负的。例如，\(\sqrt{5}\)表示5的算术平方根，其值大于等于0，且5本身作为被开方数也是大于等于0的。

性质2：\((\sqrt{a})^2 = a\)（\(a\geq0\)）：一个数先开平方再平方，就等于这个数本身（前提是这个数满足被开方数非负的条件）。例如，\((\sqrt{9})^2 = 9\)，\((\sqrt{x^2 + 2x + 1})^2 = x^2 + 2x + 1\)（\(x\)为任意实数，因为\(x^2 + 2x + 1=(x + 1)^2\geq0\)）。

性质3：\(\sqrt{a^2} = \vert a\vert = \begin{cases}a, & a\geq0 \\ -a, & a\lt0\end{cases}\)：这个性质表明对一个数的平方进行开方运算，结果是这个数的绝对值。例如，\(\sqrt{4^2} = \vert 4\vert = 4\)，而\(\sqrt{(-3)^2} = \vert -3\vert = 3\)。

二次根式的加减法：

步骤：首先将每个二次根式化为最简二次根式（后面会详细介绍化简），然后把同类二次根式（几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式）进行合并，合并同类二次根式的方法与合并同类项类似，就是把同类二次根式的系数相加减，根式部分不变。

举例：计算\(\sqrt{8} + \sqrt{18}\)，先化简二次根式，\(\sqrt{8} = \sqrt{4\times2} = 2\sqrt{2}\)，\(\sqrt{18} = \sqrt{9\times2} = 3\sqrt{2}\)，它们是同类二次根式，所以\(\sqrt{8} + \sqrt{18} = 2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = (2 + 3)\sqrt{2} = 5\sqrt{2}\)。

二次根式的乘法：

法则：\(\sqrt{a}\cdot\sqrt{b} = \sqrt{ab}\)（\(a\geq0\)，\(b\geq0\)），即两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变。

举例：计算\(\sqrt{3}\times\sqrt{6}\)，根据法则可得\(\sqrt{3}\times\sqrt{6} = \sqrt{3\times6} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\)。

二次根式的除法：

法则：\(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}\)（\(a\geq0\)，\(b\gt0\)），也就是两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变，并且要保证除数不为0且被开方数为正。

举例：计算\(\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}}\)，按照法则有\(\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{12}{3}} = \sqrt{4} = 2\)。

二次根式的化简

最简二次根式的定义：满足以下两个条件的二次根式叫做最简二次根式：一是被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；二是被开方数不含分母。例如，\(\sqrt{5}\)是最简二次根式，而\(\sqrt{8}\)不是，因为\(8 = 2^3\)，含有能开得尽方的因数\(2^2\)，可以化简为\(2\sqrt{2}\)；\(\frac{\sqrt{2}}{3}\)是最简二次根式，而\(\frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{3}}\)不是，因为分母含有二次根式。

化简方法：

将被开方数分解因数或因式：例如化简\(\sqrt{72}\)，先把72分解因数，\(72 = 2^3\times3^2\)，则\(\sqrt{72} = \sqrt{2^3\times3^2} = \sqrt{3^2\times2^2\times2} = 6\sqrt{2}\)。

分母有理化：当分母中含有二次根式时，要通过一定的方法将分母化为有理数。例如，化简\(\frac{1}{\sqrt{2}}\)，给分子分母同时乘以\(\sqrt{2}\)，得到\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)；再如，化简\(\frac{3}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}\)，分子分母同时乘以\(\sqrt{5} + \sqrt{3}\)进行分母有理化。

二次根式在初中数学中是重要的基础知识，它与后续的一元二次方程、勾股定理等知识都有着密切的联系，需要熟练掌握其相关概念、性质、运算及化简方法。