初中数学 11 一元五次方程

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1. 一元五次方程的基本形式

一元五次方程的一般形式为\(ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex + f = 0\)（\(a\neq0\)）。

2. 阿贝尔 - 鲁菲尼定理

19世纪初，阿贝尔和鲁菲尼证明了一般的一元五次方程没有根式解。

一般的一个代数方程，如果方程的次数n≥5 ，那么此方程不可能用根式求解。即不存在根式表达的一般五次方程求根公式。

也就是说，不存在像一元二次方程的求根公式（\(x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\)）、一元三次方程的卡尔丹公式和一元四次方程的费拉里解法那样，仅用方程系数的有限次加、减、乘、除和开方运算来表示方程的根的通用公式。

3. 特殊情况下的求解方法

可因式分解的情况：如果一元五次方程可以进行因式分解，例如\(x^{5}-1=(x - 1)(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x + 1)\)，可以先找到一个根（如\(x = 1\)），然后对于剩下的四次方程（\(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x + 1\)），再尝试用四次方程的解法来求解（不过这种四次方程可能也很难求解）。

利用数值方法求解：

牛顿迭代法：假设要解方程\(f(x)=ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex + f = 0\)。首先猜测一个初始值\(x_0\)，然后根据迭代公式\(x_{n + 1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f^\prime(x_n)}\)进行迭代。其中\(f^\prime(x)\)是\(f(x)\)的导数，对于\(f(x)=ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex + f\)，\(f^\prime(x)=5ax^{4}+4bx^{3}+3cx^{2}+2dx + e\)。通过多次迭代，当\(\vert x_{n + 1}-x_n\vert\)小于一个给定的误差值时，\(x_{n + 1}\)就可以作为方程的近似解。

二分法：如果能确定方程\(f(x)=ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex + f = 0\)在区间\([a,b]\)内有一个根（例如\(f(a)\)和\(f(b)\)异号），则可以计算区间的中点\(c=\frac{a + b}{2}\)，判断\(f(c)\)与\(f(a)\)或\(f(b)\)的符号关系，然后不断缩小包含根的区间，直到区间长度小于给定的误差值，此时区间中点就可以作为方程的近似根。